DAS modulare Gleichung ist a Gleichung dass im ersten oder zweiten Mitglied hat Begriffe im Modul. Der Modul, auch Absolutwert genannt, ist mit dem Abstand verknüpft, den eine Zahl von Null hat. Da es sich um Distanz handelt, ist der Modul einer Zahl immer positiv. Die Lösung modularer Gleichungsprobleme erfordert die Anwendung der Modulusdefinition, wir teilen die Gleichung normalerweise in zwei mögliche Fälle:
wenn der Inhalt des Moduls positiv ist und
wenn der Inhalt des Moduls negativ ist.
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ein reelles Zahlenmodul
Um modulare Gleichungsprobleme lösen zu können, ist es notwendig, sich die Modulo-Definition zu merken. Das Modul ist immer das gleiche wie Abstand einer Zahl zu Null, und den Modul einer Zahl darstellen Nein, verwenden wir den geraden Balken wie folgt: |Nein|. Um die |. zu berechnenNein| haben wir in zwei Fälle unterteilt:
Daher können wir sagen, dass |Nein| ist das gleiche wie das eigene
Nein wenn es eine positive Zahl oder gleich Null ist, und im zweiten Fall |Nein| ist gleich dem Gegenteil von Nein wenn es negativ ist. Denken Sie daran, dass das Gegenteil einer negativen Zahl immer positiv ist, also ist |Nein| hat immer ein Ergebnis gleich einer positiven Zahl.Beispiele:
a) |2| = 2
b) |-1| = -(-1) = 1
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Wie löst man eine modulare Gleichung?
Um die Lösung einer modularen Gleichung zu finden, ist es notwendig, jede der Möglichkeiten zu analysieren, dh jedes der Module immer in zwei Fälle zu teilen. Um nicht nur die Moduldefinition zu kennen, um modulare Gleichungen zu lösen, es ist wichtig zu wissen, wie man es löst Polynomgleichungen.
Beispiel 1:
|x – 3| = 5
Um die Lösung dieser Gleichung zu finden, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass es zwei mögliche Ergebnisse gibt, die |Nein| = 5, das sind sie, Nein = -5, da |-5| = 5, und auch Nein = 5, weil |5| = 5. Mit derselben Idee müssen wir also:
I → x – 3 = 5 oder
II → x – 3 = -5
Eine der Gleichungen separat lösen:
Auflösung I:
x – 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Auflösung II:
x – 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Es gibt also zwei Lösungen: S = {-2, 8}.
Beachten Sie, dass für x = 8 die Gleichung wahr ist, weil:
|x – 3| = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Beachten Sie auch, dass für x = -2 auch die Gleichung gilt:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Beispiel 2:
|2x + 3| = 5
Um die Lösung zu finden, ist es wie in Beispiel 1 notwendig, diese entsprechend der Moduldefinition in zwei Fälle zu unterteilen.
Ich → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Auflösung I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Auflösung II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Dann ist die einstellen der Lösungen ist: S = {1, -4}.
Beispiel 3:
|x + 3| = |2x – 1|
Wenn wir die Gleichheit von zwei Modulen haben, müssen wir sie in zwei Fälle aufteilen:
1. Fall, erstes und zweites Mitglied des gleichen Zeichens.
2. Fall, erstes und zweites Glied mit entgegengesetzten Vorzeichen.
Auflösung I:
Wir machen die beiden Seiten größer als Null, das heißt, wir entfernen einfach den Modul. Wir können auch mit beiden Negativen arbeiten, aber das Ergebnis wird das gleiche sein.
X + 3 ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
2x – 1 ≥ 0 → |2x – 1| = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x – 2x = -1 – 3
x = -4 (-1)
x = 4
Auflösung II:
Seiten entgegengesetzter Vorzeichen. Wir werden eine Seite als positiv und die andere als negativ wählen.
Auswahl:
|x + 3| ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
|2x – 1| < 0 → |2x –1| = – (2x – 1)
Wir müssen also:
x + 3 = – (2x – 1)
x + 3 = – 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Die Lösungsmenge ist also: S = {4, -2/3}.
Auch zugreifen: Was sind irrationale Gleichungen?
gelöste Übungen
Frage 1 - (UFJF) Die Anzahl der negativen Lösungen der Modulgleichung |5x – 6| = x² ist:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Auflösung
Alternative E
Wir wollen die modulare Gleichung lösen:
|5x – 6| = x²
Also teilen wir es in zwei Fälle auf:
Auflösung I:
5x – 6 > 0 → |5x – 6| = 5x - 6
Wir müssen also:
5x - 6 = x²
-x² + 5x – 6 = 0
Denken Sie daran, dass der Delta-Wert uns sagt, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:
a = -1
b = 5
c = -6
= b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Da 1 positiv ist, gibt es in diesem Fall zwei reelle Lösungen.
Auflösung II:
|5x – 6| < 0 → |5x – 6| = – (5x – 6)
– (5x – 6) = x²
– 5x + 6 = x²
– x² – 5x + 6 = 0
= b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Da Δ auch in diesem Fall positiv ist, gibt es zwei reelle Lösungen, die Summe der reellen Lösungen ist also 4.
Frage 2 - (PUC SP) Die Lösungsmenge S der Gleichung |2x – 1| = x - 1 ist:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Auflösung
Alternative A
Auflösung I:
|2x – 1| = 2x - 1
Wir müssen also:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Auflösung II:
|2x – 1| = – (2x – 1)
– (2x – 1) = x – 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm