Unter den Möglichkeiten, den numerischen Wert von x zu finden, ist ein Prozess, der auch als. bekannt ist, finde die Wurzeln einer Gleichung oder finde die Lösung einer Gleichung, auffallen: Bhaskara-Formel es ist das Verfahren zum Vervollständigen von Quadraten. Letzteres steht im Mittelpunkt des heutigen Textes.
Die Anzahl der Lösungen einer Gleichung wird durch ihren Grad angegeben. Daher haben Gleichungen ersten Grades nur eine Lösung, Gleichungen dritten Grades haben drei Lösungen und quadratische Gleichungen haben zwei Lösungen, auch Wurzeln genannt..
Gleichungen zweiten Grades können in ihrer reduzierten Form wie folgt geschrieben werden:
Axt2 + bx + c = 0
quadratische Vervollständigungsmethode
In diesem Fall ist die quadratische Gleichung ein perfektes quadratisches Trinom
Gleichungen zweiten Grades, die aus einem bemerkenswerten Produkt resultieren, sind bekannt als perfektes quadratisches Trinom. Um seine Wurzeln zu finden, verwenden wir die unten beispielhaft dargestellte Methode:
Beispiel: Berechnen Sie die Wurzeln der x-Gleichung2 + 6x + 9 = 0.
Beachten Sie, dass der Koeffizient b 6 = 2,3 beträgt. Um es in Form eines bemerkenswerten Produkts zu schreiben, überprüfe einfach, ob c = 32, was wahr ist, denn 32 = 9 = c. Auf diese Weise können wir schreiben:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Beachten Sie, dass ein bemerkenswertes Produkt das Produkt zwischen zwei gleichen Polynomen ist. Im Fall dieser Gleichung haben wir:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Ein Produkt ist nur dann gleich Null, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist. Daher ist für (x + 3)(x + 3) = 0 notwendig, dass (x + 3) = 0 oder (x + 3) = 0 ist. Daher die beiden gleichen Ergebnisse für die x-Gleichung2 + 6x + 9 = 0, das sind: x = – 3 oder x = – 3.
Zusamenfassend: um die x-Gleichung zu lösen2 + 6x + 9 = 0, schreibe:
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = – 3 oder x = – 3
In diesem Fall ist die quadratische Gleichung kein perfektes quadratisches Trinom
Eine Gleichung der zweiten, in der Koeffizient b und Koeffizient c die oben aufgestellten Beziehungen nicht erfüllen, ist kein perfektes quadratisches Trinom. In diesem Fall kann die oben hervorgehobene Lösungsmethode mit einigen zusätzlichen Schritten verwendet werden. Beachten Sie das folgende Beispiel:
Beispiel: Berechnen Sie die Wurzeln der x-Gleichung2 + 6x – 7 = 0.
Beachten Sie, dass diese Gleichung kein perfektes quadratisches Trinom ist. Dazu können wir die folgenden Operationen verwenden:
Beachten Sie, dass b = 2·3, also im ersten Element der Ausdruck, der erscheinen sollte, x. ist2 + 6x + 9, weil in diesem Ausdruck b = 2·3 und c = 32.
Für diese "Transformation" füge 3. hinzu2 an den beiden Elementen dieser Gleichung "übergeben" Sie die - 7 an das zweite Element, führen Sie die möglichen Operationen durch und beobachten Sie die Ergebnisse:
x2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
x2 + 6x + 32 = 32 + 7
x2 + 6x + 9 = 9 + 7
x2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√(x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 oder x + 3 = – 4
Dieser letzte Schritt muss in zwei Gleichungen aufgeteilt werden, da die Wurzel von 16 entweder 4 oder – 4 sein kann (dies kommt nur in Gleichungen vor. Auf die Frage nach der Wurzel von 16 lautet die Antwort nur 4). Es ist also notwendig, alle möglichen Ergebnisse zu finden. Auch weiterhin:
x + 3 = 4 oder x + 3 = – 4
x = 4 – 3 oder x = – 4 – 3
x = 1 oder x = – 7
In diesem Fall ist der Koeffizient "a" ungleich 1
Die vorherigen Fälle sind für quadratische Gleichungen gedacht, bei denen der Koeffizient "a" gleich 1 ist. Wenn der Koeffizient „a“ von 1 verschieden ist, teilen Sie einfach die gesamte Gleichung durch den Wert von „a“ und fahren Sie mit den Berechnungen auf die gleiche Weise wie im vorherigen Fall fort.
Beispiel: Berechne 2x Wurzeln2 + 16x – 18 = 0
Beachten Sie, dass a = 2. Teilen Sie also die gesamte Gleichung durch 2 und vereinfachen Sie die Ergebnisse:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 8x – 9 = 0
Sobald dies erledigt ist, wiederholen Sie die Verfahren des vorherigen Falls.
x2 + 8x – 9 = 0
x2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√(x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 oder x + 4 = –5
x = 5 – 4 oder x = – 5 – 4
x = 1 oder x = – 9
Bemerkenswerte Produkte und Gleichungen zweiten Grades: Ursprung der Quadratvervollständigungsmethode
Die quadratischen Gleichungen ähneln den bemerkenswerten Produkten Summe Quadrat und Quadrat der Differenz.
Die quadrierte Summe ist beispielsweise eine Summe von zwei quadrierten Monomen. Uhr:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Das erste Glied der obigen Gleichheit ist bekannt als bemerkenswertes Produkt und das zweite wie perfektes quadratisches Trinom. Letzteres ist einer Gleichung zweiten Grades sehr ähnlich. Uhr:
Perfektes quadratisches Trinom: x2 + 2kx + k2
Gleichung zweiten Grades: Axt2 + bx + c = 0
Wenn es also eine Möglichkeit gibt, eine quadratische Gleichung als bemerkenswertes Produkt zu schreiben, Vielleicht gibt es auch eine Möglichkeit, Ihre Ergebnisse zu finden, ohne die Formel von verwenden zu müssen Bhaskara.
Beachten Sie dazu, dass im obigen bemerkenswerten Produkt a = 1, b = 2·k und c = k2. Auf diese Weise ist es möglich, Gleichungen zu schreiben, die diese Anforderungen in Form eines bemerkenswerten Produkts erfüllen.
Schauen Sie sich also die Koeffizienten in der Gleichung an. Wenn „a“ ungleich 1 ist, dividiere die gesamte Gleichung durch den Wert von „a“. Ansonsten Koeffizient „b“ beachten. Der Zahlenwert der Hälfte dieses Koeffizienten muss dem Zahlenwert der Quadratwurzel des Koeffizienten „c“ entsprechen. Mathematisch gegeben ist die Gleichung ax2 + bx + c = 0, wenn a = 1 und zusätzlich:
B = c
2
Sie können diese Gleichung also wie folgt schreiben:
Axt2 + bx + c = (x + B) = 0
2
Und seine Wurzeln werden sein - B und + b.
2 2
Daher die ganze Theorie, die verwendet wird, um Wurzeln quadratischer Gleichungen nach der Methode der Quadratvervollständigung zu berechnen.
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
