Briot-Ruffinis praktisches Gerät

Ö Briot-Ruffinis praktisches Gerät es ist eine Möglichkeit, a zu teilen Polynom vom Grad n > 1 durch ein Binomial 1. Grades der Form x – a. Diese Methode ist ein einfacher Weg, um die Division zwischen einem Polynom und einem Binomial durchzuführen, da es ziemlich mühsam ist, diese Operation mit der Definition durchzuführen.

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Schrittweise Division von Polynomen mit der Briot-Ruffini-Methode

Dieses Gerät kann bei der Division zwischen einem Polynom P(x) mit einem Grad n größer als 1 (n >1) und einem Binomial vom Typ (x – a) verwendet werden. Folgen wir dem Schritt-für-Schritt-Beispiel im folgenden Beispiel:

Beispiel

Mit dem praktischen Briot-Ruffini-Gerät dividieren Sie das Polynom P(x) = 3x^3 + 2x^2 + x +5 durch das Binomial D(x) = x +1.

Schritt 1 – Zeichnen Sie zwei Liniensegmente, eines horizontal und eines vertikal.

Schritt 2 – Platzieren Sie die Koeffizienten des Polynoms P(x) auf dem horizontalen Liniensegment und rechts vom vertikalen Segment und wiederholen Sie den ersten Koeffizienten unten. Auf der linken Seite des vertikalen Segments müssen wir die Binomialwurzel platzieren. Um die Wurzel eines Binomials zu bestimmen, setzen Sie es einfach auf Null, wie folgt:

x + 1 = 0

x = – 1

Schritt 3 – Wir multiplizieren die Wurzel des Divisors mit dem ersten Koeffizienten unterhalb der horizontalen Linie und addieren dann das Ergebnis mit dem nächsten Koeffizienten oberhalb der horizontalen Linie. Dann wiederholen wir den Vorgang bis zum letzten Koeffizienten, in diesem Fall Koeffizient 5. Aussehen:

Nachdem wir diese drei Schritte ausgeführt haben, schauen wir uns an, was der Algorithmus uns liefert. Oben auf der horizontalen Linie und rechts von der vertikalen Linie haben wir die Koeffizienten des Polynoms P(x) wie folgt:

P(x) = 3x³ + 2x² + x +5

Die Zahl –1 ist die Wurzel des Teilers und daher ist der Teiler D(x) = x + 1. Schließlich findet man den Quotienten mit den Zahlen, die sich unterhalb der horizontalen Linie befinden, wobei die letzte Zahl die ist Rest der Division.

Denken Sie daran, dass die Dividendenklasse ist 3 es ist das Teilergrad ist 1, also ist der Grad des Quotienten gegeben durch 3 – 1 = 2. Der Quotient ist also:

Q(x) = 3x² – 1x + 2

Q(x) = 3x² – x + 2

Beachten Sie erneut, dass die Koeffizienten (grün markiert) mit den Zahlen unterhalb der horizontalen Linie erhalten werden und dass der Rest der Division wie folgt lautet: R(x) = 3.

Verwendung der Divisionsalgorithmus, Wir müssen:

Dividende = Divisor · Quotient + Rest

3x³ + 2x² + x +5 = (x + 1) · (3x² – x + 2) + 3

Die Gleichung zweiten Grades ist ein Polynom vom Grad 2.

gelöste Übungen

Frage 1 – (Furg) Bei der Division eines Polynoms P(x) durch das Binomial (x – a) haben wir mit dem praktischen Briot-Ruffini-Gerät gefunden:

Die Werte von a, q, p und r sind jeweils:

a) – 2; 1; – 6 und 6.

b) – 2; 1; – 2 und – 6.

c) 2; – 2; – 2 und – 6.

d) 2; – 2; 1 und 6.

e) 2; 1; – 4 und 4.

Lösung:

Beachten Sie, dass die Anweisung besagt, dass das Polynom P(x) durch das Binomial (x – a) geteilt wurde, also der Teiler ist. Aus dem praktischen Briot-Ruffini-Gerät haben wir, dass die Zahl links von der vertikalen Linie die Wurzel des Teilers ist, also a = – 2.

Immer noch basierend auf dem praktischen Gerät von Briot-Ruffini wissen wir, dass es notwendig ist, den ersten Koeffizienten des Dividenden unterhalb der horizontalen Linie zu wiederholen, daher q = 1.

Um den Wert von p zu bestimmen, verwenden wir wieder das handliche Gerät. Aussehen:

– 2 · q + p = – 4

Wir wissen, dass q = 1, früher entdeckt, wie folgt:

– 2 · 1 + p = – 4

– 2 + p = – 4

p = – 4 + 2

p = –2

Ebenso müssen wir:

– 2 · 5 +4 = r

– 10 + 4 = r

r = – 6

Daher ist a = – 2; q = 1; p = –2; r = – 6.

Antwort: Alternative b.

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Frage 2 - Dividiere das Polynom P(x) = x⁴ – 1 durch das Binomial D(x) = x – 1.

Lösung:

Beachten Sie, dass das Polynom P(x) nicht vollständig geschrieben ist. Bevor wir das praktische Briot-Ruffini-Gerät anwenden, müssen wir es in seiner vollständigen Form schreiben. Aussehen:

P(x) = x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x – 1

Nachdem wir diese Beobachtung gemacht haben, können wir Briot-Ruffinis praktisches Gerät fortsetzen. Lassen Sie uns die Wurzel des Teilers bestimmen und dann den Algorithmus anwenden:

x - 1 = 0

x = 1

Wir können daraus schließen, dass durch Division des Polynoms P(x) = x⁴ – 1 durch das Binomial D(x) = x – 1 gilt: Polynom Q(x) = x³ + x² + x + 1 und Rest R(x) = 0.

von Robson Luis
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-polinomios-utilizando-dispositivo-briotruffini.htm