Ö Kugelvolumen ist der Platz, den dies einnimmt geometrischer Körper. Durch den Strahl von Ball – also aus dem Abstand zwischen Mittelpunkt und Oberfläche – lässt sich dessen Volumen berechnen.
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Zusammenfassung über das Volumen der Kugel
Die Kugel ist eine runder Körper erhalten, indem man einen Halbkreis um eine Achse dreht, die den Durchmesser enthält.
Alle Punkte auf einer Kugel haben einen Abstand kleiner oder gleich r vom Mittelpunkt der Kugel.
Das Volumen der Kugel hängt vom Maß des Radius ab.
Die Formel für das Volumen der Kugel lautet \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Videolektion zum Volumen der Kugel
Was ist Kugel?
Betrachten Sie einen Punkt O im Raum und ein Segment mit dem Maß r. Die Kugel ist die Körper, der aus allen Punkten besteht, die einen Abstand kleiner oder gleich r von O haben. Wir nennen O den Mittelpunkt der Kugel und r den Radius der Kugel.
Die Sphäre kann auch als Revolutionskörper charakterisiert werden. Beachten Sie, dass durch Drehen eines Halbkreises um eine Achse, die seinen Durchmesser enthält, eine Kugel entsteht:
Formel für das Kugelvolumen
Um das Volumen V einer Kugel zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel, wobei r der Radius der Kugel ist:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Es ist wichtig, das zu beachten Maßeinheit Radius, um die Maßeinheit für das Volumen zu bestimmen. Wenn beispielsweise r in cm angegeben wird, muss das Volumen in cm³ angegeben werden.
Wie berechnet man das Volumen der Kugel?
Die Berechnung des Kugelvolumens hängt nur von der Messung des Radius ab. Schauen wir uns ein Beispiel an.
Beispiel: Bestimmen Sie mit der Näherung π = 3 das Volumen eines Basketballs mit einem Durchmesser von 24 Zentimetern.
Da der Durchmesser doppelt so groß ist wie der Radius, ist r = 12 cm. Wenn wir die Formel für das Volumen der Kugel anwenden, erhalten wir
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
Kugelregionen
Betrachten Sie eine Kugel mit Mittelpunkt O und Radius r. So was, Wir können drei Regionen betrachten dieser Sphäre:
Der innere Bereich wird durch die Punkte gebildet, deren Abstand vom Mittelpunkt kleiner als der Radius ist. Wenn P zum inneren Bereich der Kugel gehört, dann
\(D(P, O)
Der Flächenbereich wird durch die Punkte gebildet, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich dem Radius ist. Wenn P zum Oberflächenbereich der Kugel gehört, dann
\(D(P, O)=r\)
Der äußere Bereich wird durch die Punkte gebildet, deren Abstand vom Mittelpunkt größer als der Radius ist. Wenn P zum inneren Bereich der Kugel gehört, dann
\(D(P, O)>r\)
Folglich gehören Punkte im Außenbereich der Kugel nicht zur Kugel.
Mehr wissen: Kugelkappe – Körper, der entsteht, wenn eine Kugel von einer Ebene geschnitten wird
Andere Kugelformeln
A Kugelbereich – also die Messung seiner Oberfläche – hat ebenfalls eine bekannte Formel. Wenn r der Radius der Kugel ist, wird ihre Fläche A berechnet durch
\(A=4·π·r^2\)
In diesem Fall ist es auch wichtig, die Maßeinheit für den Radius zu beachten, um die Maßeinheit für die Fläche anzugeben. Wenn r beispielsweise in cm angegeben ist, muss A in cm² angegeben werden.
Gelöste Übungen zum Volumen der Kugel
Frage 1
Wie groß ist der Radius einer Kugel mit einem Volumen von 108 Kubikzentimetern? (Verwenden Sie π = 3).
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
Auflösung
Alternative B.
Berücksichtige das R ist der Radius der Kugel. Da wir wissen, dass V = 108 ist, können wir die Formel für das Volumen der Kugel verwenden:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
Frage 2
Ein alter kugelförmiger Stausee hat einen Durchmesser von 20 Metern und ein Volumen von V1. Es besteht der Wunsch, ein zweites Reservoir mit dem Volumen V zu bauen2, mit dem doppelten Volumen des alten Reservoirs. Also, V2 es ist das gleiche wie
Der) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
D) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
Es ist) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Auflösung
E-Alternative.
Da der Durchmesser doppelt so groß ist wie der Radius, hat das alte Reservoir einen Radius von r = 10 Metern. Deshalb
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
Durch die Aussage, \(V_2=2·V_1\), d.h
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Von Maria Luiza Alves Rizzo
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien-Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm