A Kugelkappe und das geometrischer Körper entsteht, wenn eine Kugel von einer Ebene durchschnitten wird und sie dadurch in zwei geometrische Körper geteilt wird. Die Kugelkappe gilt als runder Körper, da sie wie die Kugel eine abgerundete Form hat. Um die Fläche und das Volumen einer Kugelkappe zu berechnen, verwenden wir spezielle Formeln.
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Themen dieses Artikels
- 1 - Zusammenfassung zur Kugelkappe
- 2 - Was ist eine Kugelkappe?
- 3 - Elemente der Kugelkappe
- 4 - Ist die Kugelkappe ein Polyeder oder ein runder Körper?
- 5 - Wie berechnet man den Radius der Kugelkalotte?
- 6 - Wie berechnet man die Fläche der Kugelkalotte?
- 7 - Wie berechnet man das Volumen der Kugelkappe?
- 8 - Gelöste Übungen zur Kugelkalotte
Zusammenfassung zur Kugelkappe
- Die Kugelkappe ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn die Kugel durch eine Ebene geteilt wird.
- Die Hauptelemente der Kugelkalotte sind der Kugelradius, der Kugelkalottenradius und die Kugelkalottenhöhe.
- Die Kugelkalotte ist kein Polyeder, sondern ein runder Körper.
- Wenn die Ebene die Kugel in zwei Hälften teilt, bildet die Kugelkappe eine Halbkugel.
- Es ist möglich, den Radius der Kugelkappe mithilfe des Satzes des Pythagoras zu berechnen, der wie folgt aufgebaut ist:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
- Die Fläche der Kugelkalotte lässt sich nach folgender Formel berechnen:
\(A=2\pi rh\ \)
- Das Volumen der Kugelkalotte lässt sich mit folgender Formel berechnen:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
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Was ist eine Kugelkappe?
Kugelkappe ist der geometrische Körper, der erhalten wird, wenn ein Abschnitt des Ball gemeinsam Wohnung. Wenn wir die Kugel mit einer Ebene schneiden, teilen wir diese Kugel in zwei Kugelkappen. Wenn wir die Kugel in zwei Hälften teilen, wird die Kugelkappe als Halbkugel bezeichnet.
Kugelkappenelemente
Bei einer Kugelkappe sind die Hauptelemente der Radius der Kugel, der Radius der Kugelkappe und die Höhe der Kugelkappe.
- R → Radius der Kugel.
- r → Radius der Kugelkalotte.
- h → Höhe der Kugelkalotte.
Ist die Kugelkalotte ein Polyeder oder ein runder Körper?
Wir können sehen, dass die Kappe ein geometrischer Körper ist. Da es eine runde Basis und eine abgerundete Oberfläche hat, die Kugelkalotte gilt als a runder Körper, der auch als Revolutionskörper bekannt ist. Es ist erwähnenswert, dass die Polyeder hat Gesichter, die von gebildet werden Polygone, was bei der Kugelkappe nicht der Fall ist, deren Basis durch a gebildet wird Kreis.
Wie berechnet man den Radius der Kugelkalotte?
Um die Radiuslänge der Kugelkappe zu berechnen, Es ist notwendig, die Länge der Höhe h der Kugelkappe und die Länge des Radius R der Kugel zu kennen, denn wie wir im folgenden Bild sehen können, besteht eine pythagoräische Beziehung.
Beachten Sie, dass wir eine haben rechtwinkliges Dreieck, das Dreieck OO’B, mit der Hypotenuse im Maß R und den Schenkeln im Maß R – h und r. Anwenden der Satz des Pythagoras, Wir müssen:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
Beispiel:
Wie groß ist der Radius einer Kugelkappe mit einer Höhe von 2 cm, wenn man davon ausgeht, dass der Radius der Kugel 5 cm beträgt?
Auflösung:
Anwendung der pythagoräischen Beziehung:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
\(\left (5-2\right)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Wie berechnet man die Fläche der Kugelkalotte?
Um die Fläche der Kugelkappe zu berechnen, Es ist notwendig, die Länge des Radius R der Kugel und die Höhe h der Kappe zu kennen. Die zur Berechnung der Oberfläche verwendete Formel lautet:
\(A=2\pi Rh\)
- R → Radius der Kugel.
- h → Höhe der Kugelkalotte.
Beispiel:
Aus einer Kugel mit einem Radius von 6 cm und einer Höhe von 4 cm wurde eine Kugelkappe erhalten. Wie groß ist also die Oberfläche dieser Kugelkappe?
Auflösung:
Wenn wir die Fläche der Kugelkappe berechnen, erhalten wir:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Wie berechnet man das Volumen der Kugelkappe?
Das Volumen der Kugelkappe kann auf zwei Arten berechnet werden. Die erste Formel hängt vom Radius R der Kugel und der Höhe h ab:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
Beispiel:
Wie groß ist das Volumen einer Kugelkappe, die sich aus einer Kugel mit einem Radius von 8 cm und einer Höhe der Kugelkappe von 6 cm ergibt?
Auflösung:
Da wir den Wert von R und h kennen, verwenden wir die erste Formel.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)
\(V=12\pi\left (18\right)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Die andere Kugelkappenvolumenformel berücksichtigt den Kugelkappenradius r und die Kappenhöhe h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
Beispiel:
Wie groß ist das Volumen einer Kugelkappe mit einem Radius von 10 cm und einer Höhe von 4 cm?
Auflösung:
In diesem Fall haben wir r = 10 cm und h = 4 cm. Da wir den Wert des Radius der Kugelkappe und der Höhe kennen, verwenden wir die zweite Formel:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\ungefähr210,7\ \pi\ cm³\)
Auch sehen: Pyramidenstamm – der geometrische Körper, der durch die Unterseite der Pyramide gebildet wird, wenn ein Querschnitt genommen wird
Gelöste Übungen zur Kugelkalotte
Frage 1
(Enem) Um einen Partytisch für Kinder zu dekorieren, verwendet ein Koch eine kugelförmige Melone mit einem Durchmesser von 10 cm, die als Unterlage zum Aufspießen verschiedener Süßigkeiten dient. Er wird eine Kugelkappe von der Melone entfernen, wie in der Abbildung gezeigt, und um die Stabilität dieser Stütze zu gewährleisten, Um es der Melone zu erschweren, über den Tisch zu rollen, schneidet der Koch so, dass der Radius r des kreisförmigen Schnittabschnitts mindestens beträgt minus 3 cm. Andererseits möchte der Chef in der Region, in der die Süßigkeiten platziert werden, möglichst viel Platz haben.
Um alle seine Ziele zu erreichen, muss der Koch die Oberseite der Melone auf eine Höhe h (in Zentimetern) schneiden
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Auflösung:
Alternative C
Wir wissen, dass der Durchmesser der Kugel 10 cm beträgt, also beträgt ihr Radius 5 cm, also OB = 5 cm.
Wenn der Radius des Abschnitts genau 3 cm beträgt, gilt:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Deshalb:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
Frage 2
Eine Kugelkappe hat eine Fläche von 144π cm². Wenn man weiß, dass der Radius 9 cm beträgt, beträgt die Höhe dieser Kugelkappe:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Auflösung:
Alternative A
Wir wissen das:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Die Höhe beträgt 8 cm.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Möchten Sie diesen Text in einer schulischen oder wissenschaftlichen Arbeit referenzieren? Sehen:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. „Kugelkappe“; Brasilien-Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm. Abgerufen am 20. Juli 2023.
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