Symmetrische Matrix: Was ist das, Beispiele, Eigenschaften

symmetrische Matrix Ist Hauptquartier in dem jedes Element \(a_{ij}\) ist gleich dem Element \(a_{ji}\) für alle Werte von i und j. Folglich ist jede symmetrische Matrix gleich ihrer Transponierten. Erwähnenswert ist auch, dass jede symmetrische Matrix quadratisch ist und die Hauptdiagonale als Symmetrieachse fungiert.

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Themen dieses Artikels

1 – Zusammenfassung zur symmetrischen Matrix
2 - Was ist eine symmetrische Matrix?
3 - Welche Eigenschaften hat die symmetrische Matrix?
4 - Was sind die Unterschiede zwischen der symmetrischen Matrix und der antisymmetrischen Matrix?
5 - Gelöste Übungen zur symmetrischen Matrix

Zusammenfassung zur symmetrischen Matrix

In einer symmetrischen Matrix \(a_{ij}=a_{ji}\) für alle i und j.
Jede symmetrische Matrix ist quadratisch.
Jede symmetrische Matrix ist gleich ihrer Transponierten.
Die Elemente einer symmetrischen Matrix sind symmetrisch zur Hauptdiagonale.
Während in der symmetrischen Matrix \(a_{ij}=a_{ji}\)
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für alle i und j; in einer antisymmetrischen Matrix, \(a_{ij}=-a_{ji}\) für alle i und j.

Was ist eine symmetrische Matrix?

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix wo \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) für jedes i und jedes j. Das bedeutet, dass \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)usw. für alle möglichen Werte von i und j. Denken Sie daran, dass die möglichen Werte von i den Zeilen der Matrix und die möglichen Werte von j den Spalten der Matrix entsprechen.

Beispiele für symmetrische Matrizen

\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Beispiele für nichtsymmetrische Matrizen (siehe \(\mathbf{b≠g}\))

\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Wichtig: Zu sagen, dass eine Matrix nicht symmetrisch ist, bedeutet, das zu zeigen \(a_{ij}≠a_{ji}\) für zumindest einige i und j (was wir durch Vergleich der vorherigen Beispiele sehen können). Dies unterscheidet sich vom Konzept der antisymmetrischen Matrix, das wir später sehen werden.

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Welche Eigenschaften hat die symmetrische Matrix?

Jede symmetrische Matrix ist quadratisch

Beachten Sie, dass die Definition einer symmetrischen Matrix auf quadratischen Matrizen basiert. Somit hat jede symmetrische Matrix genauso viele Zeilen wie Spalten.

Jede symmetrische Matrix ist gleich ihrer Transponierten

Wenn A eine Matrix ist, ist es transponiert (\(A^T\)) ist definiert als die Matrix, deren Zeilen die Spalten von A und deren Spalten die Zeilen von A sind. Wenn A also eine symmetrische Matrix ist, gilt: \(A=A^T\).

In der symmetrischen Matrix werden die Elemente in Bezug auf die Hauptdiagonale „gespiegelt“.

Als \(a_{ij}=a_{ji}\) In einer symmetrischen Matrix sind die Elemente über der Hauptdiagonale „Spiegelungen“ der Elemente darunter der Diagonale (oder umgekehrt) im Verhältnis zur Diagonale, so dass die Hauptdiagonale als Achse von fungiert Symmetrie.

Was sind die Unterschiede zwischen der symmetrischen Matrix und der antisymmetrischen Matrix?

Wenn A eine symmetrische Matrix ist, dann \(a_{ij}=a_{ji}\) für alle i und alle j, wie wir studiert haben. Bei der antisymmetrischen Matrix ist die Situation anders. Wenn B eine antisymmetrische Matrix ist, dann \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) für jedes i und jedes j.

Beachten Sie, dass dies dazu führt \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), das ist, die Hauptdiagonalelemente sind Null. Eine Konsequenz daraus ist, dass die Transponierte einer antisymmetrischen Matrix gleich ihrem Gegenteil ist, das heißt, wenn B eine antisymmetrische Matrix ist, dann \(B^T=-B\).

Beispiele für antisymmetrische Matrizen

\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Auch sehen: Identitätsmatrix – die Matrix, in der die Hauptdiagonalelemente gleich 1 und die übrigen Elemente gleich 0 sind

Gelöste Übungen zur symmetrischen Matrix

Frage 1

(Unicentro)

wenn die Matrix \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) ist symmetrisch, daher ist der Wert von xy:

A) 6

B) 4

C) 2

D) 1

E) -6

Auflösung:

Alternative A

Wenn die gegebene Matrix symmetrisch ist, dann sind die Elemente an symmetrischen Positionen gleich (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Deshalb müssen wir:

\(x = y - 1\)

\(x + 5 = 7\)

Den ersten ersetzen Gleichung Im zweiten kommen wir zu dem Schluss \(y=3\), bald:

\(x=2\) Es ist \(xy=6\)

Frage 2

(UFSM) Zu wissen, dass die Matrix \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) ist gleich seiner Transponierten, dem Wert von \(2x+y\) é:

A) -23

B) -11

C) -1

D) 11

E) 23

Auflösung:

Alternative C

Da die gegebene Matrix gleich ihrer Transponierten ist, handelt es sich um eine symmetrische Matrix. Somit sind Elemente in symmetrischen Positionen gleich (\(a_{ij}=a_{ji}\)), also:

\(x^2=36\)

\(4-y=-7\)

\(-30=5x\)

Nach der ersten Gleichung gilt x=-6 oder x=6. Durch die dritte Gleichung erhalten wir die richtige Antwort: x= -6. Nach der zweiten Gleichung gilt y=11.

Bald:

\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)

Von Maria Luiza Alves Rizzo
Mathematiklehrer

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RIZZO, Maria Luiza Alves. „Symmetrische Matrix“; Brasilien-Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Abgerufen am 18. Juli 2023.

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Der aus dem Englischen übernommene Slang wird verwendet, um jemanden zu bezeichnen, der als kitschig, beschämend, veraltet und unmodern angesehen wird.