Eins ungefähre Quadratwurzel ist eine endliche Darstellung von a irrationale Zahl. In vielen Fällen bei der Arbeit mit QuadratwurzelnFür unsere Berechnungen reicht eine Schätzung mit wenigen Nachkommastellen aus.
Der Taschenrechner ist dabei ein wichtiges Hilfsmittel. Die platzsparende Darstellung weist auf eine gute Näherung für nicht exakte Quadratwurzeln hin. Es ist aber auch möglich, diese Schätzungen ohne Hilfe eines Taschenrechners zu ermitteln, wie wir weiter unten sehen werden.
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Themen dieses Artikels
- 1 – Zusammenfassung zur ungefähren Quadratwurzel
- 2 – Videolektion zur ungefähren Quadratwurzel
- 3 - Wie wird die ungefähre Quadratwurzel berechnet?
- 4 – Unterschiede zwischen der ungefähren Quadratwurzel und der exakten Quadratwurzel
- 5 - Gelöste Übungen zur ungefähren Quadratwurzel
Ungefähre Quadratwurzel-Zusammenfassung
Eine ungenaue Quadratwurzel ist eine irrationale Zahl.
Wir können Näherungswerte für nicht exakte Quadratwurzeln finden.
Die Genauigkeit der Näherung hängt von der Anzahl der verwendeten Dezimalstellen ab.
Die Annäherung kann auf unterschiedliche Weise erfolgen, auch mit Hilfe des Taschenrechners.
Das Finden einer y-Näherung an die Quadratwurzel von x bedeutet, dass y² sehr nahe bei x liegt, y² jedoch nicht gleich x ist.
Videolektion zur ungefähren Quadratwurzel
Wie berechnet man die ungefähre Quadratwurzel?
Es gibt verschiedene Möglichkeiten um die Näherung einer Quadratwurzel zu berechnen. Einer davon ist der Taschenrechner! Zum Beispiel, wenn wir schreiben \(\sqrt{2}\) auf dem Taschenrechner und klicken Sie auf =, die resultierende Zahl ist ein Näherungswert. Das Gleiche gilt auch für \(\sqrt{3}\) Es ist \(\sqrt{5}\), die ebenfalls nicht exakte Quadratwurzeln sind, also irrationale Zahlen.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, exakte Wurzeln in der Nähe der untersuchten nicht-exakten Wurzel zu verwenden. Dadurch können Sie die Dezimaldarstellungen vergleichen und einen Bereich für die nicht exakte Wurzel ermitteln. Somit können wir einige Werte testen, bis wir eine gute Näherung finden.
Es klingt schwierig, aber keine Sorge: Es ist ein Testprozess. Schauen wir uns einige Beispiele an.
Beispiele
Finden Sie eine Näherung auf zwei Dezimalstellen für \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
realisieren dass \(\sqrt{4}\) Es ist \(\sqrt{9}\) sind die nächsten exakten Wurzeln von \(\sqrt{5}\). Denken Sie daran, dass der Quadratwurzelwert umso größer ist, je größer der Radikand ist. Daraus können wir schließen
\(\sqrt{4}
\(2
D.h., \(\sqrt5\) ist eine Zahl zwischen 2 und 3.
Jetzt ist die Zeit zum Testen: Wir wählen einige Werte zwischen 2 und 3 und prüfen, ob sich jede quadrierte Zahl 5 nähert. (Erinnere dich daran \(\sqrt5=a\) Wenn \(a^2=5\)).
Beginnen wir der Einfachheit halber mit Zahlen mit einer Nachkommastelle:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Beachten Sie, dass wir die Zahlen nicht einmal bis auf eine Dezimalstelle analysieren müssen: Die gesuchte Zahl liegt zwischen 2,2 und 2,3.
\(2,2
Da wir nun nach einer Näherung mit zwei Dezimalstellen suchen, fahren wir mit den Tests fort:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Auch hier können wir die Analyse stoppen. Die gesuchte Zahl liegt zwischen 2,23 und 2,24.
\(2,23
Aber und jetzt? Welchen dieser Werte mit zwei Nachkommastellen wählen wir als Näherungswert? \(\sqrt5\)? Beides sind gute Optionen, aber beachten Sie, dass die beste diejenige ist, deren Quadrat der Zahl 5 am nächsten kommt:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
D.h., \(2,24^2 \) ist näher an 5 als \(2,23^2\).
Somit ist die beste Näherung zwei Nachkommastellen für \(\sqrt5\) é 2,24. Das schreiben wir \(\sqrt5≈2,24\).
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Finden Sie eine Näherung auf zwei Dezimalstellen für \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Wir könnten auf die gleiche Weise wie im vorherigen Beispiel beginnen, d. h. nach genauen Wurzeln suchen, deren Radikanden liegen nahe bei 20, aber beachten Sie, dass es möglich ist, den Wert des Radikanden zu verringern und dies zu erleichtern Konten:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Beachten Sie, dass wir die Zerlegung des Radikanden 20 durchgeführt und eine Wurzeleigenschaft verwendet haben.
Nun wie \(\sqrt20=2\sqrt5\)können wir die Näherung mit zwei Nachkommastellen verwenden \(\sqrt5\) aus dem vorherigen Beispiel:
\(\sqrt{20} ≈2,2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4,48\)
Überwachung: Da wir eine ungefähre Zahl verwenden (\(\sqrt5≈2,24\)), ist der Wert 4,48 möglicherweise nicht die beste Näherung mit zwei Dezimalstellen für \(\sqrt{20}\).
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Unterschiede zwischen ungefährer Quadratwurzel und exakter Quadratwurzel
Eine exakte Quadratwurzel ist a Rationale Zahl. realisieren dass \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) Es ist \(\sqrt{121}\) sind Beispiele für exakte Quadratwurzeln, wie \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) Es ist \(\sqrt{121}=11\). Wenn wir außerdem die Umkehroperation anwenden (d. h Potenzierung mit Exponent 2) erhalten wir den Radikanden. In den vorherigen Beispielen haben wir \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) Es ist \(11^2=121\).
Eine ungenaue Quadratwurzel ist eine irrationale Zahl (d. h. eine Zahl mit unendlich vielen sich nicht wiederholenden Dezimalstellen). Daher verwenden wir Näherungen in seiner dezimalen Darstellung. realisieren dass \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) Es ist \(\sqrt6\) sind Beispiele für nicht exakte Wurzeln, weil \(\sqrt2≈1,4142135\), \(\sqrt3≈1,7320508\) Es ist \(\sqrt6≈2,44949\). Wenn wir außerdem die Umkehroperation (d. h. Potenzierung mit Exponent 2) anwenden, erhalten wir einen Wert, der nahe am Radikanden liegt, aber nicht gleich ist. In den vorherigen Beispielen haben wir \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) Es ist \(2,44949^2=6,00000126\).
Gelöste Übungen zur ungefähren Quadratwurzel
Frage 1
Ordnen Sie die folgenden Zahlen in aufsteigender Reihenfolge an: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Auflösung
realisieren dass \(\sqrt{150}\) ist eine nicht exakte Quadratwurzel und \(\sqrt{144}\) ist genau (\(\sqrt{144}=12\)). Daher müssen wir nur die Position von identifizieren \(\sqrt{150}\).
beachten Sie, dass \(13=\sqrt{169}\). Wenn man bedenkt, dass der Wert der Quadratwurzel umso größer ist, je größer der Radikand ist, haben wir Folgendes
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Daher haben wir die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge angeordnet
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
Frage 2
Welche der folgenden Alternativen ist die beste Näherung mit einer Dezimalstelle für die Zahl? \(\sqrt{54}\)?
a) 6.8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7.8
e) 8.1
Auflösung
Alternative C
beachten Sie, dass \(\sqrt{49}\) Es ist \(\sqrt{64}\) sind die nächsten exakten Quadratwurzeln von \(\sqrt{54}\). Als \(\sqrt{49}=7\) Es ist \(\sqrt{64}=8\), Wir müssen
\(7
Sehen wir uns einige Möglichkeiten der Approximation mit einer Dezimalstelle an \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Beachten Sie, dass es nicht notwendig ist, mit den Tests fortzufahren. Außerdem ist 7,3 unter den Alternativen die beste Annäherung an eine Dezimalstelle für \(\sqrt{54}\).
Von Maria Luiza Alves Rizzo
Mathematiklehrer
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