Halbierende und das senkrechte Linie zu einem Segment, das seinen Mittelpunkt schneidet. Mit Lineal und Zirkel können wir die Mittelsenkrechte einer Strecke konstruieren. Auf einen Dreieck, die Winkelhalbierenden sind Linien senkrecht zu den Seiten, die ihre Mittelpunkte enthalten. Ein Dreieck hat also drei Mittelsenkrechte. Der Punkt, an dem sich diese Winkelhalbierenden treffen, wird Umkreismittelpunkt genannt und bildet den Mittelpunkt des vom Dreieck umschriebenen Kreises.
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Themen dieses Artikels
- 1 - Zusammenfassung zur Winkelhalbierenden
- 2 - Was ist eine Winkelhalbierende?
- 3 - Wie baut man die Mittelsenkrechte auf?
- 4 - Wie finde ich die Winkelhalbierendegleichung?
- 5 - Winkelhalbierende eines Dreiecks
- 6 - Unterschiede zwischen Winkelhalbierende, Median, Winkelhalbierende und Höhe eines Dreiecks
- 7 - Gelöste Übungen zur Winkelhalbierenden
Winkelhalbierende ist die gerade senkrecht zu einem Segment, das durch den Mittelpunkt verläuft.
Die Punkte einer Mittelsenkrechten haben den gleichen Abstand von den Endpunkten des Segments.
Die Mittelsenkrechte kann mit Lineal und Zirkel konstruiert werden.
Die Gleichung einer Mittelsenkrechten kann anhand der Koordinaten der Endpunkte des Segments bestimmt werden.
Ein Dreieck hat drei Mittelsenkrechte, eine für jede Seite.
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks wird Umkreismittelpunkt genannt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises des Dreiecks.
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks unterscheidet sich vom Median, der Winkelhalbierenden und der Höhe eines Dreiecks.
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Bei einem gegebenen Segment ist die Mittelsenkrechte die Linie senkrecht zum Segment Das fängt dich ab Mittelpunkt.
Eine wichtige Konsequenz dieser Definition ist, dass Alle Punkte auf einer Mittelsenkrechten haben den gleichen Abstand von den Endpunkten des Segments. Wenn in der mathematischen Symbologie AB ein Segment ist und der Punkt P zur Winkelhalbierenden gehört, dann gilt PA = PB.
Um die Mittelsenkrechte eines Segments zu konstruieren, Wir brauchen nur Lineal und Zirkel. Die Schritte zur Konstruktion sind wie folgt:
Schritt 1: Öffnen Sie bei einem gegebenen Segment AB den Kompass mit einer Länge, die größer als die Hälfte des Segments ist. Hinweis: Eine Möglichkeit besteht darin, die Länge des Segments selbst zu verwenden.
Schritt 2: Zeichne eins Umfang mit Mittelpunkt an einem Ende des Segments und Radius mit dem in Schritt 1 gewählten Maß.
Schritt 3: Wiederholen Sie Schritt 2 für das andere Ende des Segments.
Schritt 4: Verbinden Sie die Schnittpunkte der Kreise mit dem Lineal.
Da die Mittelsenkrechte eine Gerade ist, können wir a bestimmen Gleichung Das beschreibt deine Punkte, Sein R die Zeile, die ein Segment enthält AB weggegeben, S die Winkelhalbierende dieses Segments und P (x, y) irgendein Punkt auf der Mittelsenkrechten.
Vorausgesetzt, dass die Koordinaten der Punkte A Es ist B bekannt sind, können wir den Winkelkoeffizienten ermitteln N der Geraden R. Als R Es ist S senkrecht stehen, die Steigung M der Geraden S (die Mittelsenkrechte) kann ebenfalls gefunden werden, da sie das Gegenteil der multiplikativen Umkehrung von ist N. Unter Verwendung des Ausdrucks für die Grundgleichung der Geraden: \(y-y_0=m (x-x_0 )\), auf was \(M(x\_0,y\_0)\) ist der Mittelpunkt von AB, wir haben die Winkelhalbierendengleichung vervollständigt.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Winkelhalbierende des Segments, das durch die Punkte A(1,2) und B(3,6) bestimmt wird.
Auflösung:
Lassen Sie uns zunächst die Steigung ermitteln N der Geraden R das das Segment enthält AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Nun suchen wir den Mittelpunkt M des Segments AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Denken Sie daran, dass die Mittelsenkrechte S gesucht ist senkrecht zur Linie R (das das Segment enthält AB). Dann der Winkelkoeffizient M der Geraden S und der Winkelkoeffizient N der Geraden R hängen wie folgt zusammen:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Deshalb, \( m_s=\frac{-1}2\).
Schließlich verwenden wir die Grundgleichung der Geraden, um die Winkelhalbierende s zu bestimmen, eine Gerade, deren Steigung gleich ist \(-\frac{1}2\) und geht durch den Punkt (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
Die drei Seiten eines Dreiecks sind Liniensegmente. Daher bezieht sich der Begriff „Halbierende eines Dreiecks“ auf die Winkelhalbierende einer der Seiten dieser geometrischen Figur. Deshalb, das Dreieckhat drei Winkelhalbierende. Siehe unten:
Der Punkt, an dem sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks treffen, wird Umkreismittelpunkt genannt., da es der Mittelpunkt des vom Dreieck umschriebenen Kreises ist (d. h. der Kreis, der durch die drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft).
Wichtig:Da der Umkreismittelpunkt ein Punkt ist, der den drei Mittelsenkrechten gemeinsam ist, ist sein Abstand von jedem der Eckpunkte gleich. In der mathematischen Symbologie, wenn D ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC, Dann \(AD=BD=CD\).
Winkelhalbierende, Median, Winkelhalbierende und Höhe eines Dreiecks sind unterschiedliche Konzepte. Schauen wir uns jeden einzeln und dann gemeinsam an.
Winkelhalbierende eines Dreiecks: ist die Linie senkrecht zu einer der Seiten, die ihren Mittelpunkt schneidet.
Median eines Dreiecks: ist das Segment mit Endpunkten an einem Scheitelpunkt des Dreiecks und am Mittelpunkt der dem Scheitelpunkt gegenüberliegenden Seite.
Winkelhalbierende eines Dreiecks: ist das Segment, das eines davon in zwei Hälften teilt Winkel Seiten des Dreiecks, mit Endpunkten an einem der Eckpunkte und auf der gegenüberliegenden Seite.
Höhe eines Dreiecks: ist das Segment senkrecht zu einer der Seiten, dessen Ende im Winkel gegenüber der Seite liegt.
Im folgenden Bild markieren wir im Verhältnis zum Segment BC des Dreiecks die Höhe (gestrichelte Linie in Orange), die Winkelhalbierende (gestrichelte Linie in Lila), der Mittelwert (gepunktete Linie in Grün) und die Mittelsenkrechte (durchgezogene Linie in Rot).
Wichtig: Auf einen gleichseitiges Dreieck, das heißt, bei dem die drei Seiten und drei Winkel gleich sind, fallen die Winkelhalbierenden, Mittelwerte, Winkelhalbierenden und Höhen zusammen. Folglich ist die Bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks (Umfangszentrum, Schwerpunkt, Inzentrum und Orthozentrum) fallen ebenfalls zusammen. Im Bild unten markieren wir in Bezug auf das Segment BC die Winkelhalbierende, den Median, die Winkelhalbierende und die Höhe in einer durchgehenden schwarzen Linie. Der hervorgehobene Punkt E ist daher das Umkreiszentrum, Schwerpunkt, Inzentrum und Orthozentrum des Dreiecks ABC.
Auch sehen: Metrische Beziehungen im eingeschriebenen gleichseitigen Dreieck – was sind sie?
Frage 1
Betrachten Sie die folgenden Aussagen.
ich. Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist das Segment, das an einem Scheitelpunkt beginnt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite kreuzt.
II. Der Punkt, an dem sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks treffen, wird Umkreismittelpunkt genannt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises, der das Dreieck umschreibt und von den Eckpunkten den gleichen Abstand hat.
III. Die Winkelhalbierende eines Segments ist die Senkrechte, die das Segment in der Mitte schneidet.
Welche Alternative enthält die Richtige(n)?
A) Nur ich.
B) II, nur.
C) III, nur.
D) I und II.
E) II und III.
Auflösung:
Alternative E
Aussage I ist die einzig falsche, da sie den Median eines Dreiecks beschreibt.
Frage 2
(Enem – adaptiert) In den letzten Jahren hat das Fernsehen eine wahre Revolution in Bezug auf Bildqualität, Ton und Interaktivität mit dem Zuschauer erlebt. Diese Transformation ist auf die Umwandlung des analogen Signals in das digitale Signal zurückzuführen. Allerdings verfügen viele Städte immer noch nicht über diese neue Technologie. Um diese Vorteile drei Städten zugänglich zu machen, beabsichtigt ein Fernsehsender den Bau eines neuen Sendemasts, der ein Signal an die in diesen Städten bereits vorhandenen Antennen A, B und C sendet. Die Antennenstandorte werden in der kartesischen Ebene dargestellt:
Der Turm muss den gleichen Abstand zu den drei Antennen haben. Der geeignete Ort für den Bau dieses Turms entspricht dem Koordinatenpunkt
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Auflösung:
Alternative E
Beachten Sie, dass der Standort des Turms der Umkreismittelpunkt des aus den Punkten A, B und C gebildeten Dreiecks sein muss, da dies der äquidistante Standort der drei Antennen ist.
Die Koordinaten für den T-Turm sind\( (x_t, y_t )\). Da T zur Winkelhalbierenden von AB gehört (gegeben durch die Linie x = 50), muss die horizontale Position des Turms sein \(x_t=50\).
Zur Bestimmung der horizontalen Koordinate \(y_t\) des Turms können wir den Ausdruck für den Abstand zwischen zwei Punkten zweimal verwenden. Da der Turm beispielsweise von den Eckpunkten A und C gleich weit entfernt ist (AT = CT), gilt:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Vereinfacht erhalten wir \(y_t=30\).
Von Maria Luiza Alves Rizzo
Mathematiklehrer
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