Transponierte Matrix: Was ist das, Eigenschaften, Beispiele

DAS transponierte Matrix der Matrix M ist die Matrix M^t. es geht um die Hauptquartier die wir bekommen werden wenn wir die Matrix M umschreiben und die Position der Zeilen und Spalten ändern, transformiert die erste Zeile von M in die erste Spalte von M^t, die zweite Reihe von M in der zweiten Spalte von M^t, und so weiter.

Wenn Matrix M hat ich Linien und Nein Spalten, ihre transponierte Matrix, dh M^t, werde haben Nein Linien und ich Säulen. Es gibt spezifische Eigenschaften für die transponierte Matrix.

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Wie erhält man die transponierte Matrix?

Gegeben eine Matrix A_mxn, kennen wir als die von A in die Matrix A transponierte Matrix^t_{n x m}. Um die transponierte Matrix zu finden, ändern Sie einfach die Position der Zeilen und Spalten der Matrix A. Was auch immer die erste Zeile der Matrix A ist, ist die erste Spalte der transponierten Matrix A^t, die zweite Zeile von Matrix A ist die zweite Spalte von Matrix A^t, und so weiter.

Algebraisch sei M = (m_ij)_mxn, ist die transponierte Matrix von M M^t = (m_ji) _{n x m}.

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Beispiel:

Finden Sie die aus der Matrix transponierte Matrix:

Matrix M ist eine 3x5-Matrix, daher beträgt ihre Transponierung 5x3. Um die transponierte Matrix zu finden, machen wir die erste Zeile der Matrix M zur ersten Spalte der Matrix M^t.

Die zweite Zeile der Matrix M ist die zweite Spalte der transponierten Matrix:

Schließlich wird die dritte Zeile der Matrix M zur dritten Spalte der Matrix M.^t:

symmetrische Matrix

Basierend auf dem Konzept der transponierten Matrix ist es möglich zu definieren, was eine symmetrische Matrix ist. Eine Matrix wird als symmetrisch bezeichnet wenn es gleich deiner transponierten Matrix ist, d. h. gegeben die Matrix M, M = M^t.

Damit das passiert, die Matrix muss quadratisch sein, was bedeutet, dass die Anzahl der Zeilen der Anzahl der Spalten entsprechen muss, damit die Matrix symmetrisch ist.

Beispiel:

Wenn wir analysieren die Terme oberhalb der Hauptdiagonale und die Terme unterhalb der Hauptdiagonale der Matrix S kann man sehen, dass es Terme gibt, die Sie sind gleich, was sie gerade wegen der Symmetrie der Matrix in Bezug auf die Hauptdiagonalen als symmetrisch macht.

Wenn wir die Transponierte der Matrix S finden, können wir sehen, dass S^t ist gleich S.

Als S = S^t, diese Matrix ist eine symmetrische.

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Transponierte Matrixeigenschaften

1. Eigenschaft: die Transponierte einer transponierten Matrix ist gleich der Matrix selbst:

(M^t)^t = M

2. Eigenschaft: die Transponierte der Summe zwischen den Matrizen ist gleich der Summe der Transponierten jeder der Matrizen:

(M + N)^t = M^t+ Nein^t

3. Eigenschaft: die Umsetzung von Multiplikation zwischen zwei Matrizen ist gleich der Multiplikation der Transponierten jeder der Matrizen:

(M · N)^t = M^t · Nein^t

4. Eigenschaft: Ö bestimmend der Matrix ist gleich der Determinante der transponierten Matrix:

det (M) = det (M^t)

5. Eigenschaft: Matrixtransponierung mal Konstante ist gleich Matrixtransponierung mal Konstante:

(kA)^t = kA^t

Inverse Matrix

Das Konzept der inversen Matrix unterscheidet sich stark vom Konzept der transponierten Matrix, und es ist wichtig, den Unterschied zwischen ihnen hervorzuheben. Die inverse Matrix einer Matrix M ist die Matrix M^-1, wobei das Produkt zwischen den M- und M-Matrizen^-1 ist gleich der Identitätsmatrix.

Beispiel:

Um mehr über diese Art von Matrix zu erfahren, lesen Sie unseren Text: Inverse Matrix.

entgegengesetzte Matrix

Da es sich um einen weiteren Fall einer speziellen Matrix handelt, die Matrix gegenüber der Matrix M ist die Matrix -M. Wir kennen als Gegenmatrix von M = (m_ij) die Matrix -M = (-m_ij). Die entgegengesetzte Matrix besteht aus den entgegengesetzten Termen der Matrix M.