Ö Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung, ebenso wie die Varianz und der Variationskoeffizient. Bei der Bestimmung der Standardabweichung können wir einen Bereich um das arithmetische Mittel (Division zwischen der Summe der Zahlen in einer Liste und der Anzahl der hinzugefügten Zahlen), wo die meisten Daten konzentriert sind. Je größer der Wert der Standardabweichung ist, desto größer ist die Streuung der Daten, d. h. desto größer ist die Abweichung vom arithmetischen Mittel.
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Zusammenfassung der Standardabweichung
- Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung.
- Die Notation der Standardabweichung ist der griechische Kleinbuchstabe Sigma (σ) oder der Buchstabe s.
- Die Standardabweichung wird verwendet, um die Variabilität der Daten um den Mittelwert zu überprüfen.
- Die Standardabweichung bestimmt einen Bereich \(\left[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\), wo sich die meisten Daten befinden.
- Um die Standardabweichung zu berechnen, müssen wir die Quadratwurzel der Varianz finden:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Was ist die Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist a in der Statistik angenommenes Streuungsmaß. Seine Verwendung ist verbunden Abweichungsinterpretation, was auch ein Streuungsmaß ist.
In der Praxis die Standardabweichung bestimmt ein um das arithmetische Mittel zentriertes Intervall, in dem sich die meisten Daten konzentrieren. Je größer also der Wert der Standardabweichung, desto größer die Unregelmäßigkeit der Daten (weitere Informationen heterogen), und je kleiner der Wert der Standardabweichung, desto kleiner die Unregelmäßigkeit der Daten (weitere Informationen homogen).
Wie berechnet man die Standardabweichung?
Um die Standardabweichung eines Datensatzes zu berechnen, wir müssen die Quadratwurzel der Varianz finden. Die Formel zur Berechnung der Standardabweichung lautet also
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → betroffene Daten.
- μ → arithmetisches Mittel der Daten.
- N → Datenmenge.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right )^2+\links (x_3-\mu\rechts)^2+...+\links (x_N-\mu\rechts)^2 \)
Das letzte Element, das sich auf den Zähler des Radikand bezieht, gibt die Summe der Quadrate der Differenz zwischen jedem Datenpunkt und dem arithmetischen Mittel an. bitte beachte, dass die Maßeinheit für die Standardabweichung ist dieselbe Maßeinheit wie die Daten X1,X2,X3,…,XNEIN.
Obwohl das Schreiben dieser Formel etwas kompliziert ist, ist ihre Anwendung einfacher und direkter. Nachfolgend finden Sie ein Beispiel für die Verwendung dieses Ausdrucks zur Berechnung der Standardabweichung.
- Beispiel:
Zwei Wochen lang wurden in einer Stadt folgende Temperaturen gemessen:
Wochentag |
Sonntag |
Zweite |
Dritte |
Vierte |
Fünfte |
Freitag |
Samstag |
Woche 1 |
29 Grad |
30 Grad |
31 Grad |
31,5 Grad |
28 Grad |
28,5 °C |
29 Grad |
Woche 2 |
28,5 °C |
27 Grad |
28 Grad |
29 Grad |
30 Grad |
28 Grad |
29 Grad |
In welcher der zwei Wochen blieb die Temperatur in dieser Stadt regelmäßiger?
Auflösung:
Um die Regelmäßigkeit der Temperatur zu analysieren, müssen wir die Standardabweichungen der in Woche 1 und 2 aufgezeichneten Temperaturen vergleichen.
- Schauen wir uns zunächst die Standardabweichung für Woche 1 an:
Beachten Sie, dass der Durchschnitt μ1 Es ist NEIN1 sie sind
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\approx29,57\)
\(N_1=7 \) (7 Tage pro Woche)
Außerdem müssen wir das Quadrat der Differenz zwischen jeder Temperatur und der Durchschnittstemperatur berechnen.
\(\links (29-29,57\rechts)^2=0,3249\)
\(\links (30-29,57\rechts)^2=0,1849\)
\(\links (31-29.57\rechts)^2=2.0449\)
\(\links (31,5-29,57\rechts)^2=3,7249\)
\(\links (28-29.57\rechts)^2=2.4649\)
\(\links (28,5-29,57\rechts)^2=1,1449\)
\(\links (29-29,57\rechts)^2=0,3249\)
Wenn wir die Ergebnisse addieren, haben wir, dass der Zähler der Radikand in der Standardabweichungsformel ist
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Also ist die Woche 1 Standardabweichung
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \ca. 1,208\ °C\)
Hinweis: Dieses Ergebnis bedeutet, dass die meisten Temperaturen der Woche 1 im Intervall [28,36 °C, 30,77 °C] liegen, also im Intervall \(\left[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\right]\).
- Schauen wir uns nun die Standardabweichung in Woche 2 an:
Nach der gleichen Argumentation haben wir
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\links (28,5-28,5\rechts)^2=0\)
\(\links (27-28,5\rechts)^2=2,25\)
\(\links (28-28,5\rechts)^2=0,25\)
\(\links (29-28,5\rechts)^2=0,25\)
\(\links (30-28,5\rechts)^2=2,25\)
\(\links (28-28,5\rechts)^2=0,25\)
\(\links (29-28,5\rechts)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Also ist die Woche 2 Standardabweichung
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \ca.0,89\ °C\)
Dieses Ergebnis bedeutet, dass die meisten Temperaturen in Woche 2 in diesem Bereich liegen \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\), also die Reichweite \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\).
realisieren dass \(\sigma_2, das heißt, die Standardabweichung in Woche 2 ist kleiner als die Standardabweichung in Woche 1. Daher zeigte Woche 2 regelmäßigere Temperaturen als Woche 1.
Welche Arten von Standardabweichungen gibt es?
Die Arten der Standardabweichung beziehen sich auf die Art der Datenorganisation. Im vorherigen Beispiel haben wir mit der Standardabweichung von nicht gruppierten Daten gearbeitet. Um die Standardabweichung einer Reihe anderweitig organisierter Daten (z. B. gruppierte Daten) zu berechnen, müssten Sie die Formel anpassen.
Was sind die Unterschiede zwischen Standardabweichung und Varianz?
die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Wenn Varianz verwendet wird, um die Variabilität eines Datensatzes zu bestimmen, hat das Ergebnis die Dateneinheit zum Quadrat, was seine Analyse erschwert. Daher ist die Standardabweichung, die dieselbe Einheit wie die Daten hat, ein mögliches Werkzeug, um das Varianzergebnis zu interpretieren.
Mehr wissen:Absolute Häufigkeit – die Häufigkeit, mit der dieselbe Antwort während der Datenerfassung aufgetreten ist
Gelöste Aufgaben zur Standardabweichung
Frage 1
(FGV) In einer Klasse mit 10 Schülern waren die Noten der Schüler in einer Leistungsbeurteilung:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Die Standardabweichung dieser Liste ist ungefähr
A) 0,8.
b) 0,9.
c) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Auflösung:
Alternative C.
Laut Aussage N = 10. Der Durchschnitt dieser Liste ist
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Außerdem,
\(\links (6-8\rechts)^2=4\)
\(\links (7-8\rechts)^2=1\)
\(\links (8-8\rechts)^2=0\)
\(\links (9-8\rechts)^2=1\)
\(\links (10-8\rechts)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Die Standardabweichung dieser Liste ist also
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\approx1.1\)
Frage 2
Betrachten Sie die folgenden Aussagen und bewerten Sie jede mit T (richtig) oder F (falsch).
ich. Die Quadratwurzel der Varianz ist die Standardabweichung.
II. Die Standardabweichung hat keine Beziehung zum arithmetischen Mittel.
III. Varianz und Standardabweichung sind Beispiele für Streuungsmaße.
Die richtige Reihenfolge, von oben nach unten, ist
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Auflösung:
E-Alternative.
ich. Die Quadratwurzel der Varianz ist die Standardabweichung. (WAHR)
II. Die Standardabweichung hat keine Beziehung zum arithmetischen Mittel. (FALSCH)
Die Standardabweichung gibt ein Intervall um das arithmetische Mittel an, in das die meisten Daten fallen.
III. Varianz und Standardabweichung sind Beispiele für Streuungsmaße. (WAHR)
Von Maria Luisa Alves Rizzo
Mathe-Lehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm