Eine der Techniken, die verwendet werden, um zu lösen quadratische Gleichungen ist die Methode bekannt als komplette Quadrate. Diese Methode besteht darin, die Gleichung von zweiteGrad Als ein perfektes quadratisches Trinom und schreiben Sie Ihre faktorisierte Form. Manchmal offenbart dieses einfache Verfahren bereits die Wurzeln der Gleichung.
Daher sind Grundkenntnisse über bemerkenswerte Produkte, trinomialQuadratPerfekt und polynomielle Faktorisierung diese Technik zu verwenden. Oftmals erlaubt es aber Berechnungen „im Kopf“.
Daher erinnern wir uns an die drei Fälle von Produktebemerkenswert bevor Sie das demonstrieren MethodefertigstellenQuadrate, die wiederum in drei verschiedenen Fällen aufgedeckt werden.
Herausragende Produkte und perfekte quadratische Trinome
Als nächstes sehen Sie das bemerkenswerte Produkt, das trinomialQuadratPerfekt was äquivalent dazu ist und die Form faktorisiert dieses Trinoms bzw. Betrachten Sie dazu, dass x unbekannt ist und Das ist eine beliebige reelle Zahl.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x-k)2 = x2 – 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Die Gleichung zweiten Grades bezogen auf den dritten Produktbemerkenswert, bekannt als Produkt aus Summe und Differenz, kann mit einer Technik gelöst werden, die das Rechnen noch einfacher macht. Daher wird es hier nicht berücksichtigt.
Die Gleichung ist das perfekte quadratische Trinom
Wenn man Gleichung von zweiteGrad ein perfektes quadratisches Trinom ist, können Sie seine Koeffizienten wie folgt identifizieren: a = 1, b = 2k oder – 2k und c = k2. Um dies zu überprüfen, vergleichen Sie einfach eine quadratische Gleichung mit a trinomialQuadratPerfekt.
Daher ist in der Lösung von Gleichung von zweiteGrad x2 + 2kx + k2 = 0, wir haben immer die Möglichkeit:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√[(x + k)2] = √0
|x + k| = 0
x + k = 0
x = -k
– x – k = 0
x = -k
Somit ist die Lösung eindeutig und gleich –k.
Wenn Gleichung x sein2 – 2kx + k2 = 0, können wir dasselbe tun:
x2 – 2kx + k2 = 0
(x-k)2 = 0
√[(x - k)2] = √0
|x – k| = 0
x - k = 0
x = k
– x + k = 0
– x = – k
x = k
Daher ist die Lösung eindeutig und gleich k.
Beispiel: Was sind die Wurzeln von Gleichung x2 + 16x + 64 = 0?
Beachten Sie, dass die Gleichung a trinomialQuadratPerfekt, da 2k = 16, wobei k = 8 und k2 = 64, wobei k = 8. Wir können also schreiben:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√[(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = – 8
Hier wurde das Ergebnis vereinfacht, da wir bereits wissen, dass die beiden Lösungen gleich der gleichen reellen Zahl sein werden.
Die Gleichung ist kein perfektes quadratisches Trinom
In Fällen, in denen die Gleichung von zweiteGrad kein perfektes quadratisches Trinom ist, können wir die folgende Hypothese betrachten, um seine Ergebnisse zu berechnen:
x2 + 2kx + C = 0
Beachten Sie, dass diese Gleichung zu a. wird trinomialQuadratPerfekt, ersetze einfach den Wert von C durch den Wert von k2. Da dies eine Gleichung ist, können Sie dies nur tun, indem Sie k2 auf beiden Stäben, dann Vertauschen des Stabkoeffizienten C. Uhr:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 -
Nach diesem Verfahren können wir mit der vorherigen Technik fortfahren und die trinomialQuadratPerfekt in ein bemerkenswertes Produkt und die Berechnung der Quadratwurzeln auf beiden Gliedmaßen.
x2 + 2kx + k2 = k2 -
(x + k)2 = k2 -
√[(x + k)2] = √(k2 - Ç)
x + k = ± √(k2 - Ç)
Das ±-Zeichen erscheint immer dann, wenn das Ergebnis von a Gleichung ist eine Quadratwurzel, denn in diesen Fällen ist das Quadratwurzelergebnis a Modul, wie im ersten Beispiel gezeigt. Zum Schluss müssen Sie nur noch Folgendes tun:
x = – k ± √(k2 - Ç)
Also, diese Gleichungen habe zwei ergebnisse Real und eindeutig oder kein reelles Ergebnis, wenn C > k2.
Beispielsweise, berechne die Wurzeln von x2 + 6x + 8 = 0.
Lösung: Beachten Sie, dass 6 = 2·3x. Daher ist k = 3 und daher k2 = 9. Daher ist die Zahl, die wir in beiden Elementen hinzufügen müssen, gleich 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√[(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x’ = 1 – 3 = – 2
x’’ = – 1 – 3 = – 4
In diesem Fall ist der Koeffizient a ≠ 1
wenn der Koeffizient Das, gibt Gleichung von zweiteGrad, unterscheidet sich von 1, dividiere einfach die ganze Gleichung durch den Zahlenwert des Koeffizienten Das um dann eine der beiden vorherigen Methoden anzuwenden.
Also in der 2x-Gleichung2 + 32x + 128 = 0, wir haben die eindeutige Wurzel gleich 8, denn:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
Und in der 3x-Gleichung2 + 18x + 24 = 0, wir haben die Wurzeln – 2 und – 4, denn:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm