DAS Der Satz der internen Winkelhalbierenden wurde speziell für entwickelt Dreiecke und zeigt, dass, wenn wir die innere Winkelhalbierende eines Winkels des Dreiecks verfolgen, der Treffpunkt der Winkelhalbierenden mit der gegenüberliegenden Seite diese Seite teilt Liniensegmente proportional zu den angrenzenden Seiten dieses Winkels. Mit der Anwendung des Satzes der inneren Winkelhalbierenden Es ist möglich, den Wert der Seiten oder Segmente des Dreiecks anhand des Verhältnisses zwischen ihnen zu bestimmen.
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Zusammenfassung zum Satz der internen Winkelhalbierenden:
Die Winkelhalbierende ist a Strahl die den Winkel in zwei kongruente Winkel teilt.
Der Satz der inneren Winkelhalbierenden ist spezifisch für Dreiecke.
Dieser Satz beweist, dass die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite in teilt proportionale Segmente an den angrenzenden Seiten Winkel.
Videolektion zum Satz der internen Winkelhalbierenden
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Was ist der Bisektorsatz?
Bevor wir verstehen, was der Satz der inneren Winkelhalbierenden sagt, ist es wichtig zu wissen, was er ist Winkelhalbierende. Es ist ein Strahl, der den Winkel in zwei kongruente Teile teilt., also zwei Teile, die das gleiche Maß haben.
Wenn wir verstehen, was die Winkelhalbierende ist, stellen wir fest, dass sie am Innenwinkel eines Dreiecks existiert. Wenn wir die Winkelhalbierende eines Dreiecks abgrenzen, wird die gegenüberliegende Seite in zwei Segmente geteilt. In Bezug auf die interne Winkelhalbierende Sein Satz besagt, dass die beiden durch ihn geteilten Segmente proportional zu den benachbarten Seiten des Winkels sind.
Beachten Sie, dass die Winkelhalbierende die Seite AC in zwei Segmente unterteilt, AD und DC. Das zeigt der Winkelhalbierende Satz:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Mehr wissen: Satz des Pythagoras – ein weiterer Satz, der für Dreiecke entwickelt wurde
Beweis des Satzes der inneren Winkelhalbierenden
Im Dreieck ABC unten werden wir das Segment BD abgrenzen, das die Winkelhalbierende dieses Dreiecks ist. Außerdem verfolgen wir die Verlängerung seiner Seite CB und des Segments AE parallel zu BD:
Der Winkel AEB ist kongruent zum Winkel DBC, denn CE ist a gerade transversal zu den Parallelsegmenten AE und BD.
Anwendung der Satz von Thales, kamen wir zu folgendem Schluss:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Jetzt wir es bleibt zu zeigen, dass BE = AB ist.
Da x das Maß für die Winkel ABD und DBC ist, erhalten wir durch Analysieren des Winkels ABE:
ABE = 180 - 2x
Wenn y das Winkelmaß EAB ist, haben wir folgende Situation:
Wir wissen, dass die Summe der Innenwinkel des Dreiecks ABE ist 180°, also können wir berechnen:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Wenn Winkel x und Winkel y das gleiche Maß haben, ist das Dreieck ABE gleichschenklig. Daher ist die Seite AB = AE.
Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer gleich 180° ist, gilt im Dreieck ACE:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Da y = x ist, ist das Dreieck ACE gleichschenklig. Daher sind die Segmente AE und AC kongruent. AE gegen AC in tauschen Grund, bewiesen ist:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Beispiel:
Finden Sie den Wert von x im folgenden Dreieck:
Wenn wir das Dreieck analysieren, erhalten wir das folgende Verhältnis:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Kreuzmultiplizieren:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
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Gelöste Aufgaben zum Satz der inneren Winkelhalbierenden
Frage 1
Wenn wir das Dreieck unten betrachten, können wir sagen, dass der Wert von x ist:
a) 9
b) 10
c) 11
D) 12
E) 13
Auflösung:
Alternative d
Mit dem Satz der internen Winkelhalbierenden erhalten wir die folgende Rechnung:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Kreuzmultiplizieren:
\(27x=18\ \links (30-x\rechts)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
Frage 2
Analysieren Sie das folgende Dreieck in dem Wissen, dass Ihre Maße in Zentimetern angegeben wurden.
Der Umfang des Dreiecks ABC ist gleich:
a) 75 cm
B) 56cm
c) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Auflösung:
Alternative C
Unter Anwendung des Bisektorsatzes finden wir zuerst den Wert von x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \links (4x-9\rechts)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Somit messen die unbekannten Seiten:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Denken Sie daran, dass die Spurlänge verwendet wurde der cm, der Umfang dieses Dreiecks ist gleich:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Von Raúl Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
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OLIVEIRA, Raúl Rodrigues de. "Satz der inneren Winkelhalbierenden"; Brasilien Schule. Verfügbar in: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Zugriff am 04. April 2022.
