Die Domäne, der Bereich und der Bereich sind numerische Sätze, die durch mathematische Funktionen in Beziehung stehen. Diese wandeln Werte durch ihre Bildungsgesetze um und transportieren sie von einer Ausgangsmenge, dem Bereich, zu einer Ankunftsmenge, dem Bereich.
Aus der Domänenmenge stammen die Werte, die durch die Funktionsformel oder das Bildungsgesetz transformiert werden. Danach kommen diese Werte bei der Codomain an.
Die Teilmenge, die durch die in der Kodomäne ankommenden Elemente gebildet wird, wird als Bildmenge bezeichnet.
Auf diese Weise sind Domäne, Bereich und Bereich nicht leere Mengen und können endlich oder unendlich sein.
Bei der Untersuchung von Funktionen ist es notwendig, anzugeben, welche Elemente oder welchen Umfang diese Mengen haben. Zum Beispiel: Menge natürlicher Zahlen oder Menge reeller Zahlen.
Wenn ein Bereich A gegeben ist, in dem jedes zugehörige Element x durch die Funktion in ein Element y transformiert wird, das zum Bereich B gehört, wird jedes Element y ein Bild von x genannt.
Um den Definitionsbereich und den Bereich einer Funktion zu bezeichnen, wird die Notation verwendet:
(wir lesen f von A nach B)
Diese Transformationsgesetze sind Ausdrücke, die Operationen und Zahlenwerte beinhalten.
Beispiel
Eine Funktion f: A→B definiert durch das Bildungsgesetz f(x) = 2x, wobei ihr Definitionsbereich die Menge A={1, 2, 3} ist und der Bereich B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, kann durch die Werte in der Tabelle und den dargestellt werden Diagramme:
|
Domain x |
f(x) = 2x |
Bild und |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Organisieren von Tabellenergebnissen in Diagrammen:
Domain
Bereich D einer Funktion f ist die Ausgabemenge, die aus den Elementen x besteht, die auf die Funktion angewendet werden.
Geometrisch bilden in einer kartesischen Ebene die Domänenelemente die x-Achse der Abszisse.
in der Notation die Domäne wird durch den Buchstaben vor dem Pfeil dargestellt.
Jedes Element x im Definitionsbereich hat mindestens ein Bild y im Codomain.
Kodomäne
CD-Domäne ist der Ankunftssatz. in der Notation ist auf der rechten Seite des Pfeils dargestellt.
Bild
Bild Im ist eine Teilmenge des Bereichs, gebildet durch die Elemente y, die die Funktion verlassen und im Bereich ankommen, der die gleiche Anzahl von Elementen oder eine kleinere Anzahl haben kann.
Damit ist die Bildmenge einer Funktion f im Wertebereich enthalten.
Geometrisch bilden in einer kartesischen Ebene die Elemente des Bildsatzes die y-Achse der Ordinaten.
Es ist üblich zu sagen, dass y der von der Funktion f(x) angenommene Wert ist, und auf diese Weise schreiben wir:
Es ist möglich, dass dasselbe Element y ein Bild von mehr als einem Element x im Definitionsbereich ist.
Beispiel
in Funktion gesetzlich definiert
, für symmetrische x-Werte des Definitionsbereichs haben wir ein einzelnes y-Bild.
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Domain-, Co-Domain- und Image-Übungen
Übung 1
Gegeben seien die Mengen A = {8, 12, 13, 20, 23} und B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, bestimme: Bereich, Bereich und Bereich der Funktionen.
a) f: A → B definiert durch f (x) = 2x + 1
b) f: A → B definiert durch f (x) = 3x - 14
a) f: A → B definiert durch f (x) = 2x + 1
Bereich A = {8, 12, 13, 20, 23}
Bereich B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Bild Im (f) = {17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | Ich bin (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8) = 2,8 + 1 | 17 |
| 12 | f(12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13) = 2,13 + 1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f(23)=2,23+1 | 47 |
b) f: A → B definiert durch f (x) = 3x - 14
Bereich A = {8, 12, 13, 20, 23}
Bereich B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Bild Im (f) = {}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | Ich bin (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8) = 3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12) = 3,12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13) = 3,13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20) = 3,20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23) = 3,23 - 14 | 55 |
Übung 2
Bestimmen Sie den Definitionsbereich von Funktionen, die definiert sind durch:
Die Domäne ist die Menge möglicher Werte, die x annehmen kann.
a) Wir wissen, dass eine Division durch Null 0 nicht möglich ist, also muss der Nenner von Null verschieden sein.
Wir lesen: x gehört zu den reellen Zahlen, sodass x von 2 verschieden ist.
b) Es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. Daher muss der Radikand größer oder gleich Null sein.
Wir lesen: x gehört zu den reellen Zahlen, sodass x größer oder gleich 5 ist.
Übung 3
Gegeben sei die Funktion mit Definitionsbereich in der Menge der ganzen Zahlen Was ist die Bildmenge von f(x) ?
Die Menge Z der ganzen Zahlen lässt sowohl negative als auch positive Zahlen zu, wobei zwei aufeinanderfolgende Zahlen 1 Einheit voneinander entfernt sind.
Auf diese Weise lässt die Funktion positive und negative Werte zu. Da x jedoch quadriert wird, gibt jeder Wert, sogar ein negativer, einen positiven Wert zurück.
Beispiel
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
Auf diese Weise gibt es nur natürliche Zahlen im Bild.
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Anwendungen und Kuriositäten
Funktionen finden Anwendung bei der Untersuchung jedes Phänomens, bei dem ein Parameter von einem anderen abhängt. Wie zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Möbelstücks im Laufe der Zeit, die Wirkung eines Medikaments mit den Eigenschaften der Magensäure, die Temperatur eines Heizkessels mit der Brennstoffmenge.
Die Funktionen sind in realen Phänomenen vorhanden und finden daher Anwendung in allen naturwissenschaftlichen und technischen Studien.
Das Studium der Funktionen ist nicht neu, einige Aufzeichnungen in der Antike in babylonischen Tabellen zeigen, dass sie bereits Teil der Mathematik waren. Im Laufe der Jahre hat die Notation, wie sie geschrieben wird, Beiträge von mehreren Mathematikern erhalten und sich verbessert, bis wir sie heute verwenden.
