Die Faktorisierung von Polynome besteht aus Methoden, die entwickelt wurden, um ein Polynom umzuschreiben als Produkt zwischen Polynomen. Schreiben Sie das Polynom als Multiplikation zwischen zwei oder mehr Faktoren hilft, algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und ein Polynom zu verstehen.
Es gibt verschiedene Fälle von Factoring, und für jeden gibt es spezifische Techniken.. Die existierenden Fälle sind: Faktorisieren durch gemeinsamen Faktor im Beweis, Faktorisieren durch Gruppieren, Differenz zwischen zwei Quadraten, perfektes Quadrattrinom, Summe von zwei Würfeln und Differenz von zwei Würfeln.
Weiterlesen:Was ist Polynom?
Zusammenfassung zum Faktorisieren von Polynomen
Die Faktorisierung von Polynomen sind Techniken, die verwendet werden, um das Polynom als ein Produkt zwischen Polynomen darzustellen.
Wir verwenden diese Faktorisierung, um zu vereinfachen algebraische Ausdrücke.
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Die Factoring-Fälle sind:
Faktorisieren nach dem gemeinsamen Faktor in der Evidenz;
Factoring nach Gruppierung;
perfektes quadratisches Trinom;
Differenz von zwei Quadraten;
Summe von zwei Würfeln;
Unterschied von zwei Würfeln.
Polynomial Factoring-Fälle
Um ein Polynom zu faktorisieren, es ist zu analysieren, in welchen der Factoring-Fälle die Situation passt, seiend: Faktorisieren durch gemeinsamen Faktor im Beweis, Faktorisieren durch Gruppieren, Differenz zwischen zwei Quadraten, perfektes Quadrattrinom, Summe zweier Würfel und Differenz zweier Würfel. Sehen wir uns an, wie die Faktorisierung in jedem von ihnen durchgeführt wird.
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Gemeinsamer Faktor bei Beweisen
Wir verwenden diese Faktorisierungsmethode, wenn es einen Faktor gibt, der allen Termen des Polynoms gemeinsam ist. Dieser gemeinsame Faktor wird als ein Faktor hervorgehoben und der andere Faktor, das Ergebnis der Teilung der Terme um diesen gemeinsamen Faktor, werden in Klammern gesetzt.
Beispiel 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Wenn man jeden Term dieses Polynoms analysiert, kann man sehen, dass x in allen Termen wiederholt wird. Außerdem sind alle Koeffizienten (20, 12 und 8) Vielfache von 4, sodass der Faktor, der allen Termen gemeinsam ist, 4x beträgt.
Wenn wir jeden Term durch den gemeinsamen Faktor dividieren, erhalten wir:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Jetzt werden wir die Faktorisierung schreiben, die den gemeinsamen Faktor zum Beweis bringt und die Summe der Ergebnisse in Klammern:
4x (5j + 3x + 2j²)
Beispiel 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Analysiert man den wörtlichen Teil jedes Begriffs, kann man sehen, dass a²b in allen wiederholt wird. Beachten Sie, dass es keine Zahl gibt, die 2, 3 und – 4 gleichzeitig teilt. Der gemeinsame Faktor wird also nur a²b sein.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4.5b³: a²b = 4a³
Somit lautet die Faktorisierung dieses Polynoms:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Auch sehen: Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen – verstehen, wie sie gemacht werden
Gruppierung
Diese Methode ist verwendet, wenn es keinen gemeinsamen Faktor für alle Terme des Polynoms gibt. In diesem Fall identifizieren wir Begriffe, die sich mit einem gemeinsamen Faktor gruppieren lassen und heben sie hervor.
Beispiel:
Faktorisieren Sie das folgende Polynom:
ax + 4b + bx + 4a
Wir werden die Terme gruppieren, die a und b als gemeinsamen Faktor haben:
ax + 4a + bx + 4b
Setzt man a und b als zwei mal zwei in Beweise, so haben wir:
a(x+4)+b(x+4)
Beachten Sie, dass die Faktoren innerhalb der Klammern gleich sind, sodass wir dieses Polynom umschreiben können als:
(a + b) (x + 4)
perfektes quadratisches Trinom
Trinome sind Polynome mit 3 Termen. Ein Polynom heißt perfektes quadratisches Trinom, wenn es Summenquadrat oder Differenzquadratergebnis, das ist:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Wichtig: Nicht jedes Mal, wenn es drei Terme gibt, ist dieses Polynom ein perfektes quadratisches Trinom. Daher muss vor der Faktorisierung überprüft werden, ob das Trinom in diesem Fall passt.
Beispiel:
Faktorisieren Sie, wenn möglich, das Polynom
x² + 10x + 25
Nach der Analyse dieses Trinoms extrahieren wir die Quadratwurzel erster und letzter Begriff:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Es ist wichtig zu überprüfen, ob der zentrale Term, d. h. 10x, gleich ist \(2\cdot\ x\cdot5\). Beachten Sie, dass es tatsächlich dasselbe ist. Dies ist also ein perfektes quadratisches Trinom, das wie folgt faktorisiert werden kann:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
Differenz von zwei Quadraten
Wenn wir eine Differenz von zwei Quadraten haben, wir können dieses Polynom faktorisieren, indem wir es als Produkt aus Summe und Differenz umschreiben.
Beispiel:
Faktorisieren Sie das Polynom:
4x² – 36y²
Zuerst berechnen wir die Quadratwurzel jedes seiner Terme:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Nun schreiben wir dieses Polynom als Produkt aus Summe und Differenz der gefundenen Wurzeln um:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Lesen Sie auch: Algebraische Berechnung mit Monomen – lernen Sie, wie die vier Operationen ablaufen
Summe von zwei Würfeln
Die Summe zweier Würfel, d. h. a³ + b³, kann faktorisiert werden als:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Beispiel:
Faktorisieren Sie das Polynom:
x³ + 8
Wir wissen, dass 8 = 2³, also:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Unterschied von zwei Würfeln
Die Differenz zweier Würfel, d. h. a³ – b³, nicht unähnlich der Summe zweier Würfel, kann faktorisiert werden als:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Beispiel:
Faktorisieren Sie das Polynom
8x³ - 27
Wir wissen das:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Also müssen wir:
\(8x^3-27=\links (2x-3\rechts)\)
\(8x^3-27=\links (2x-3\rechts)\links (4x^2+6x+9\rechts)\)
Gelöste Übungen zum Faktorisieren von Polynomen
Frage 1
Verwenden der polynomiellen Faktorisierung zur Vereinfachung des algebraischen Ausdrucks \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), wir werden finden:
a) x + 2
B) x - 2
C) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Auflösung:
Alternative D
Wenn wir uns den Zähler ansehen, sehen wir, dass x² + 4x + 4 ein Fall eines perfekten quadratischen Trinoms ist und wie folgt umgeschrieben werden kann:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Der Zähler x² – 4 ist die Differenz zweier Quadrate und kann umgeschrieben werden als:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Deswegen:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Beachten Sie, dass der Term x + 2 sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt, daher ist seine Vereinfachung gegeben durch:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
Frage 2
(Unifil Institute) In Anbetracht der Tatsache, dass zwei Zahlen, x und y, so sind, dass x + y = 9 und x² – y² = 27 gilt, ist der Wert von x gleich:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Auflösung:
Alternative C
Beachten Sie, dass x² – y² die Differenz zwischen zwei Quadraten ist und als Produkt aus Summe und Differenz faktorisiert werden kann:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Wir wissen, dass x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
Dann können wir a. einrichten Gleichungssystem:
Hinzufügen der beiden Zeilen:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer