Ein Polynomgleichung ist dadurch gekennzeichnet, dass a Polynom gleich Null. Es kann durch den Grad des Polynoms charakterisiert werden, und je größer dieser Grad ist, desto schwieriger ist es, seine Lösung oder Wurzel zu finden.
In diesem Zusammenhang ist es auch wichtig zu verstehen, was der fundamentale Satz der Algebra ist, der besagt, dass jede Polynomgleichung hat mindestens eine komplexe Lösung, mit anderen Worten: Eine Gleichung ersten Grades hat mindestens eine Lösung, eine Gleichung zweiten Grades mindestens zwei Lösungen und so weiter.
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Was ist eine Polynomgleichung?
Eine Polynomgleichung ist dadurch gekennzeichnet, dass sie ein Polynom gleich Null hat, also jeder Ausdruck vom Typ P(x) = 0 ist eine Polynomgleichung, wobei P(x) ein Polynom ist. Unten ist der allgemeine Fall einer Polynomgleichung und einige Beispiele.
Bedenke dieNein, einn -1, ein n -2, …, Die1, ein0 und x reale Nummern, und n eine positive ganze Zahl ist, ist der folgende Ausdruck eine Polynomgleichung vom Grad n.
- Beispiel
Die folgenden Gleichungen sind Polynome.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Wie Polynome haben auch Polynomgleichungen ihren Grad. Um den Grad einer Polynomgleichung zu bestimmen, finden Sie einfach die höchste Potenz, deren Koeffizient von Null verschieden ist. Daher lauten die Gleichungen der vorherigen Punkte jeweils:
a) Die Gleichung ist aus vierter Grad:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Die Gleichung ist aus weiterführende Schule:5x2 – 3 = 0.
c) Die Gleichung ist aus erster Abschluss:6x – 1 = 0.
d) Die Gleichung ist von dritter Grad: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Wie löst man eine Polynomgleichung?
Die Methode zum Lösen einer Polynomgleichung hängt von ihrem Grad ab. Je größer der Grad einer Gleichung ist, desto schwieriger ist es, sie zu lösen. In diesem Artikel zeigen wir die Lösungsmethode für Polynomgleichungen der ersten Grades, zweiten Grades und Bisquare.
Polynomgleichung ersten Grades
Eine Polynomgleichung ersten Grades wird beschrieben durch a Polynom Grad 1. Wir können also eine Gleichung ersten Grades im Allgemeinen wie folgt schreiben.
Betrachten Sie zwei reelle Zahlen Die und B mit a ≠ 0 ist der folgende Ausdruck eine Polynomgleichung ersten Grades:
ax + b = 0
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir die Äquivalenzprinzip, das heißt, alles, was auf der einen Seite der Gleichheit betrieben wird, muss auch auf der anderen Seite betrieben werden. Um die Lösung einer Gleichung ersten Grades zu bestimmen, müssen wir das Unbekannte isolieren. Dazu ist der erste Schritt die Beseitigung der B auf der linken Seite der Gleichheit, und dann subtrahierenruder b auf beiden Seiten der Gleichheit.
ax + b - B = 0 - B
ax = - b
Beachten Sie, dass der Wert des unbekannten x nicht isoliert ist, der Koeffizient a muss von der linken Seite der Gleichheit entfernt werden, und dafür teilen wir beide Seiten durch Die.
- Beispiel
Lösen Sie die Gleichung 5x + 25 = 0.
Um das Problem zu lösen, müssen wir das Äquivalenzprinzip anwenden. Um den Prozess zu erleichtern, verzichten wir auf das Schreiben der Operation auf der linken Seite der Gleichheit, da gleichbedeutend damit zu sagen, dass wir die Zahl an die andere Seite „übergeben“ und das Vorzeichen ändern (inverse Operation).
Erfahren Sie mehr über das Lösen dieser Art von Gleichungen, indem Sie auf unseren Text zugreifen: Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten.
Polynomgleichung zweiten Grades
Eine Polynomgleichung zweiten Grades hat die Eigenschaft a Grad zwei Polynom. Betrachten Sie also a, b und c reelle Zahlen mit a 0. Eine Gleichung zweiten Grades ist gegeben durch:
Axt2 + bx + c = 0
Ihre Lösung kann mit der Methode von. bestimmt werden bhaskara oder durch Factoring. Wenn Sie mehr über Gleichungen dieses Typs erfahren möchten, lesen Sie: GlAktion von SSekunde grau.
→ Bhaskara-Methode
Mit der Methode von Bhaskara werden seine Wurzeln durch die folgende Formel angegeben:
- Beispiel
Finden Sie die Lösung der Gleichung x2 – 3x + 2 = 0.
Beachten Sie, dass die Koeffizienten der Gleichung a = 1, b = – 3 bzw. c = 2 sind. Wenn wir diese Werte in der Formel ersetzen, müssen wir:
→ Faktorisierung
Sehen Sie, dass es möglich ist, den Ausdruck x. zu faktorisieren2 – 3x + 2 = 0 unter Verwendung der Idee von polynomielle Faktorisierung.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Beachten Sie nun, dass wir ein Produkt gleich Null haben und ein Produkt nur dann gleich Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, also müssen wir:
x – 2 = 0
x = 2
oder
x - 1 = 0
x = 1
Sehen Sie, dass wir die Lösung der Gleichung mit zwei verschiedenen Methoden gefunden haben.
bi-quadratische Gleichung
DAS zweieckige Gleichung es ist ein Sonderfall einer Polynomgleichung vierten Grades, normalerweise würde eine Gleichung vierten Grades in der Form geschrieben:
Axt4 + bx3 + Kiste2 + dx + e = 0
wo die Zahlen A B C D und und sind reell mit a 0. Eine Gleichung vierten Grades gilt als bisquadrat, wenn die Koeffizienten b = d = 0 sind, d. h. die Gleichung hat die Form:
Axt4 + Kiste2 + und = 0
Sehen Sie im folgenden Beispiel, wie Sie diese Gleichung lösen.
- Beispiel
Löse die x-Gleichung4 – 10x2 + 9 = 0.
Um die Gleichung zu lösen, verwenden wir die folgende unbekannte Änderung, und wenn die Gleichung zweieckig ist, werden wir diese Änderung vornehmen.
x2 =p
Beachten Sie aus der bi-quadratischen Gleichung, dass x4 = (x2)2 und deshalb müssen wir:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
zum2 – 10p + 9 = 0
Sehen Sie, dass wir jetzt eine Polynomgleichung zweiten Grades haben und die Methode von Bhaskara wie folgt verwenden können:
Wir müssen jedoch daran denken, dass zu Beginn der Übung eine unbekannte Änderung vorgenommen wurde, sodass wir den in der Substitution gefundenen Wert anwenden müssen.
x2 =p
Für p = 9 gilt:
x2 = 9
x’ = 3
oder
x’’ = – 3
Für p = 1
x2 = 1
x’ = 1
oder
x’’ = – 1
Daher lautet die Lösungsmenge der bisquadratischen Gleichung:
S = {3, –3, 1, –1}
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Fundamentaler Satz der Algebra (TFA)
Der Fundamentalsatz der Algebra (TFA), der 1799 von Gauß bewiesen wurde, besagt, dass jede Polynomgleichung wie folgt mindestens eine komplexe Wurzel hat.
Die Wurzel einer Polynomgleichung ist ihre Lösung, d. h. der unbekannte Wert macht die Gleichheit wahr. Zum Beispiel hat eine Gleichung ersten Grades eine bereits bestimmte Wurzel, ebenso eine Gleichung zweiten Grades, die mindestens zwei Wurzeln hat, und ein Bisquadrat, das mindestens vier Wurzeln hat.
gelöste Übungen
Frage 1 – Bestimmen Sie den Wert von x, der die Gleichheit wahr macht.
2x – 8 = 3x + 7
Auflösung
Beachten Sie, dass es zum Lösen der Gleichung notwendig ist, sie zu organisieren, dh alle Unbekannten auf der linken Seite der Gleichheit zu belassen.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Nach dem Äquivalenzprinzip können wir beide Seiten der Gleichheit mit derselben Zahl multiplizieren, und da wir den Wert von x finden wollen, multiplizieren wir beide Seiten mit –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
Frage 2 – Marcos hat 20 R$ mehr als João. Zusammen schaffen sie es, zwei Paar Turnschuhe zu kaufen, die jedes Paar R$80 kosten und kein Geld mehr übrig hat. Wie viele Reais hat John?
Auflösung
Angenommen, Mark hat x Reais, da John 20 Reais mehr hat, also hat er x + 20.
Marks → x reelle
João → (x + 20) reais
wie haben sie gekauft? zwei Paar Turnschuhe die jeweils 80 Reais kosten. Wenn wir also die Teile jedes einzelnen zusammensetzen, müssen wir:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Daher hatte Mark 70 Reais und João 90 Reais.
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
