der Satz von Primzahlen ist das Studienobjekt in Mathematik aus dem antiken Griechenland. Euklides hat das Thema bereits in seinem großartigen Werk „Die Elemente“ diskutiert und nachweisen können, dass dies einstellen ist unendlich. Wie wir wissen, sind die Primzahlen diejenigen, die die Zahl 1 als Teiler haben und sie selbst also sehr große Primzahlen zu finden ist keine leichte Aufgabe, und das Sieb von Eratosthenes macht es einfach. Treffen.
Wie erkennt man, wann eine Zahl eine Primzahl ist?
Wir wissen, dass eine Primzahl a. istwer hat wie Teiler die Nummer 1 und er selbst, also eine Zahl, die in ihrer Teilerliste andere Zahlen als 1 hat und selbst keine Primzahl ist, siehe:
Durch die Auflistung der Teiler 11 und 30 haben wir:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Beachten Sie, dass die Zahl 11 nur die Zahl 1 und sich selbst als Teiler hat, also die Nummer 11 ist eine Primzahl. Schauen Sie sich nun die Teiler der Zahl 30 an, sie hat neben der Zahl 1 und sich selbst die Zahlen 2, 3, 5, 6 und 10 mit Teilern. Deswegen,
die Zahl 30 ist keine Primzahl.→ Beispiel: Liste die Primzahlen kleiner als 15 auf.
Dazu listen wir die Teiler aller Zahlen zwischen 2 und 15 auf.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Somit sind Primzahlen kleiner als 15:
2, 3, 5, 7, 11 und 13
Seien wir ehrlich, diese Aufgabe wäre nicht sehr angenehm, wenn wir zum Beispiel alle Primzahlen zwischen 2 und 100 aufschreiben würden. Um dies zu vermeiden, werden wir im nächsten Thema lernen, das Sieb von Eratosthenes zu verwenden.
Sieb von Eratosthenes
Das Sieb von Eratosthenes ist a Werkzeug, das die Bestimmung von Primzahlen erleichtern soll. Das Sieb besteht aus vier Schritten, und es ist notwendig, um sie zu verstehen, die Teilbarkeitskriterien. Bevor wir Schritt für Schritt beginnen, müssen wir eine Tabelle von der Zahl 2 bis zur gewünschten Zahl erstellen, da die Zahl 1 keine Primzahl ist. Dann:
→ Schritt 1: Aus dem Teilbarkeitskriterium durch 2 haben wir, dass die geraden Zahlen alle dadurch teilbar sind, d. h. die Nummer 2 erscheint in der Liste der Teiler, daher sind diese Zahlen keine Primzahlen und wir müssen sie aus der ausschließen Tisch. Sind sie:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Schritt 2: Aus dem Kriterium der Teilbarkeit durch 3 wissen wir, dass eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn Summe von seinen Ziffern ist es auch. Daher müssen wir diese Zahlen aus der Tabelle ausschließen, da sie keine Primzahlen sind, da es eine andere Zahl als 1 und sich selbst in der Teilerliste gibt. Also müssen wir die Zahlen ausschließen:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Schritt 3: Aus dem Kriterium der Teilbarkeit durch 5 wissen wir, dass alle Zahlen, die auf 0 oder 5 enden, durch 5 teilbar sind, also müssen wir sie aus der Tabelle ausschließen.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Schritt 4: Ebenso müssen wir Zahlen aus der Tabelle ausschließen, die ein Vielfaches von 7 sind.
14, 21, 28, …, 546, …
– Wenn wir das Sieb des Eratosthenes kennen, bestimmen wir die Primzahlen zwischen 2 und 100.
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84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
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92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ sind keine Cousins
→ Primzahlen
Die Primzahlen zwischen 2 und 100 sind also:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Lesen Sie auch: MMC- und MDC-Berechnung: Wie geht das?
Primfaktorzerlegung
DAS Primfaktorzerlegung ist offiziell bekannt als Grundsatz der Arithmetik. Dieser Satz besagt, dass any ganze Zahl verschieden von 0 und größer als 1 kann durch das Produkt von Primzahlen dargestellt werden. Um die faktorisierte Form einer ganzen Zahl zu bestimmen, müssen wir aufeinanderfolgende Divisionen durchführen, bis wir das Ergebnis gleich 1 erreichen. Siehe das Beispiel:
→ Bestimmen Sie die faktorisierte Form der Zahlen 8, 20 und 350.
Um die Zahl 8 zu faktorisieren, müssen wir sie durch die erste mögliche Primzahl dividieren, in diesem Fall durch 2. Dann führen wir eine weitere Division auch durch die mögliche Primzahl durch, dieser Vorgang wird wiederholt, bis wir die Zahl 1 als Antwort auf die Division erreichen. Aussehen:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Daher ist die faktorisierte Form der Zahl 8 2 · 2 · 2 = 23. Um diesen Prozess zu erleichtern, werden wir die folgende Methode anwenden:
Daher kann die Zahl 8 geschrieben werden als: 23.
→ Um die Zahl 20 zu faktorisieren, verwenden wir dieselbe Methode, nämlich: durch Primzahlen dividieren.
Die Zahl 20 in ihrer faktorisierten Form ist also: 2 · 2 · 5 oder 22 · 5.
→ Ebenso werden wir mit der Zahl 350 verfahren.
Daher ist die Zahl 350 in ihrer faktorisierten Form: 2 · 5 · 5 · 7 oder 2 · 52 · 7.
Auch sehen: Wissenschaftliche Notation: Wozu dient sie?
gelöste Übungen
Frage 1 - Den Ausdruck vereinfachen:
Lösung
Lassen Sie uns zuerst den Ausdruck faktorisieren, um es einfacher zu machen.
Somit ist 1024 = 210, und daher können wir im Übungsausdruck das eine durch das andere ersetzen. Daher:
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm