Newtons Binomial ist ein Binomial, das zu einer Zahl erhöht wird Nein auf was Nein es ist eine natürliche Zahl. Dank des Studiums des Physikers Isaac Newton über die Potenz von Binomialen, es war möglich Überprüfe Gesetzmäßigkeiten, die die Darstellung des Polynoms erleichtern aus der Potenz eines Binomials erzeugt.
Unter Beachtung dieser Regelmäßigkeiten wurde es auch möglich finde nur einen der Begriffe von Polynom, ohne alles berechnen zu müssen, mit der Formel des allgemeinen Termes eines Binomials. Darüber hinaus bemerkte Newton eine Beziehung zwischen den kombinatorische Analysea und Newtons Binomialen, was machte die Pascals Dreieck ein großartiges Werkzeug für die praktischere Entwicklung eines Newton-Binoms.
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Definition des Newtonschen Binomials
Wir definieren als Binomial diePolynom mit zwei Termen. In einigen Anwendungen in Mathematik und Physik ist es notwendig, Potenzen eines Binomials zu berechnen. Um den Prozess zu erleichtern,
Isaac Newton bemerkte wichtige Regelmäßigkeiten die es uns erlauben, das Polynom zu finden, das sich aus der Potenz eines Binomials ergibt.
In einigen Fällen ist die Berechnung ganz einfach: Führen Sie einfach die Multiplikation des Binomials mit sich selbst unter Verwendung der Verteilungseigenschaft. Bis zu einer Potenz der Ordnung 3 entwickeln wir ohne großen Aufwand, da sie die bekannten bemerkenswerte Produkte, aber für höhere Potenzen aus der Multiplikation des Termes mit sich selbst berechnen Nein manchmal ist es viel arbeit.
Beispiele
Denken Sie daran, dass jede auf Null angehobene Zahl gleich 1 ist und dass jede auf 1 angehobene Zahl sich selbst ist, was auch für die Binomialzahlen gilt.
Newton bemerkte a Beziehung zwischen den Koeffizienten jedes der Terme und der Kombination, die die Berechnung einer Potenz eines Binomials direkter aus der folgenden Formel ermöglichte:
Die Formel verstehen:
Schauen wir uns zuerst den wörtlichen Teil jedes Begriffs an, den Buchstaben mit seinem Exponenten. Beachten Sie, dass für jeden Term der Exponent von “a“ nahm ab, beginnend bei n, ging dann zu n – 1 und so weiter, bis es im vorletzten Term 1 und im letzten Term 0 war (was dazu führt, dass der Buchstabe „a“ im letzten Term nicht einmal vorkommt).
identifizieren Das und seine Exponenten:
Analysieren wir nun die Exponenten von "b", die immer steigend sind, beginnend mit 0 im ersten Term (der wodurch der Buchstabe b nicht im ersten Term erscheint), 1 im zweiten Term, und so weiter, bis er gleich ist Das Neinim letzten Semester.
identifizieren B und seine Exponenten:
Den wörtlichen Teil verstehen, lass uns Analysiere die Koeffizienten, die alle Kombinationen von. sind Nein Elemente von 0 bis 0, 1 bis 1, 2 bis 2 usw. bis zum letzten Term, der die Kombination von. ist Nein Elemente aus Nein im Nein.
Es ist bemerkenswert, dass es wichtig ist, die Berechnung von. zu beherrschen Kombinationen um die Koeffizienten zu finden. Denken Sie daran, um Kombinationen zu berechnen, müssen wir:
Die Kombinationsantwort ist immer a natürliche Zahl.
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Beispiel: Berechne das Newtonsche Binomial (a+b) hoch vier.
1. Schritt: schreibe das Polynom mit der Formel.
2. Schritt: berechne die Kombinationen.
Wenn man die Kombinationen ersetzt, wird das gefundene Polynom:
Sie sehen, dass das Lösen solcher Fälle je nach Exponenten immer noch mühsam ist, aber trotzdem schneller als das Rechnen mit der Verteilungseigenschaft. Ein Hilfsmittel, das bei dieser Berechnung helfen kann, ist das Pascalsche Dreieck.
Pascals Dreieck
Das Pascal-Dreieck wurde von Blaise Pascal während des Studiums von Kombinationen entwickelt. Er ist ein Weg, der die Berechnung von Kombinationen erleichtert. Die Verwendung des Pascal-Dreiecks macht es schneller und einfacher, die Koeffizienten der Literalteile eines Newton-Binomials zu finden, ohne alle Kombinationen berechnen zu müssen.
Um das Pascal-Dreieck direkt zu konstruieren, erinnern wir uns an zwei Situationen, in denen die Kombinationsberechnung gleich 1 ist.
Somit sind der erste und letzte Term aller Zeilen immer gleich 1. Die zentralen Terme werden aus der Summe des darüber liegenden Termes plus seinem Nachbarn aus der vorherigen Spalte gebildet, wie in der folgenden Darstellung:
Um die nächsten Zeilen zu erstellen, denken Sie einfach daran, dass der erste Term 1 ist und der letzte auch. Dann genügt es, die Summen zu bilden, um die zentralen Terme zu entdecken.
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Beispiel: Berechne (a+b) hoch sechs.
1. Schritt: Wende die Binomialformel an.
2. Schritt: Baue das Pascal-Dreieck bis zur 6. Linie auf.
3. Schritt: Ersetzen Sie die Kombinationen durch die Werte in Zeile 6, die die Koeffizienten jedes der Terme des Binomials sind.
Was die Anzahl der Zeilen bestimmt, die wir aus dem Binomial bilden, ist der Wert von n. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass die erste Zeile Null ist.
Newtons binomialer allgemeiner Begriff
Newtons allgemeiner Binomialterm ist eine Formel, die es uns ermöglicht, einen Term des Binomials zu berechnen, ohne das gesamte Polynom entwickeln zu müssen, d.h. wir können identifizieren Sie einen der Begriffe vom ersten bis zum letzten. Mit der Formel berechnen wir direkt den gesuchten Begriff.
Das: erste Amtszeit
B: zweites Semester
n: Exponent
p+1: Suchbegriff
Beispiel: Finden Sie den 11. Term des Binomials (a + b)12.
Auflösung:
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gelöste Übungen
Frage 1 - (Cesgranrio) Der Koeffizient von x4 im Polynom P(x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Auflösung
Wir wollen einen bestimmten Term bei der Lösung des Binomials finden; Dazu müssen wir den Wert von p ermitteln.
Wir wissen, dass der erste Term in diesem Fall gleich x ist, also n – p = 4, da n = 6 gilt:
Somit beträgt der Koeffizient 60 (Alternative B).
Frage 2 - (Unifor) Wenn der Zentralterm der Binomialentwicklung (4x + ky)10 für 8064x5ja5, dann ist die dem Wert von k entsprechende Alternative:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Auflösung: Wir wissen, dass der Zentralterm gleiche Koeffizienten hat (p= 5). Suchen wir den 6. Term, da p+1=6. Außerdem gilt a = 4x; b = ky und n = 10, also:
Alternative D.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm