Ableitung des dritten Keplerschen Gesetzes. Das dritte Keplersche Gesetz.

Wir wissen, dass die Umlaufbahnen der Planeten elliptisch sind, aber für die Ableitung des dritten Keplerschen Gesetzes, betrachten wir eine Kreisbahn. Obwohl die folgende Demonstration auf kreisförmigen Bahnen basiert, gelten die Ergebnisse auch für elliptische Bahnen.

In der Abbildung haben wir einen Planeten, der die Sonne umkreist. Die Zentripetalkraft (Fc) ist eine von der Sonne ausgeübte Gravitationskraft. Die zwischen Planeten und Satelliten ausgeübten Anziehungskräfte werden vernachlässigt, da ihre Massen viel kleiner sind als die Masse der Sonne.

Wie der Planet der Masse (m) die Sonne in einer Kreisbewegung und mit Winkelgeschwindigkeit ( ) umkreist, ist die resultierende Kraft auf den Planeten, die Zentripetalkraft (Fc) genannt, gegeben durch:

F_C=mω² R

Auf was:

F_C:Zentripetalkraft;
m: Masse des Planeten;
ω: Winkelgeschwindigkeit des Planeten;
r: Radius der Umlaufbahn des Planeten.

Die Winkelgeschwindigkeit ist gegeben durch:

Auf was:

T: Periode der Revolution auf dem Planeten.

Wenn wir Gleichung 2 in Gleichung 1 einsetzen, erhalten wir:

Beachten Sie, dass die Zentripetalkraft die Anziehungskraft zwischen der Sonne und dem Planeten ist. Betrachtet man die Masse der Sonne als (M) und den Bahnradius des Planeten als (r), was die Entfernung zwischen der Sonne und dem Planeten ist, kann das Gesetz der universellen Gravitation wie folgt geschrieben werden:

Auf was:

Wenn wir Gleichung 3 mit 4 gleichsetzen, erhalten wir:

Demnächst:

Betrachten Sie Gleichung 5 und beachten Sie, dass der Term  konstant ist, da sich die Unbekannten auf die universelle Konstante und die Masse der Sonne beziehen, so kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

T²= kr³

Auf was:

k: Proportionalitätskonstante.

Gleichung 6 sagt uns, dass das Quadrat der Umlaufperiode eines Planeten um die Sonne direkt proportional zur Kubik der Entfernung zwischen ihnen ist.

Aus der obigen Gleichung können wir den Schluss ziehen, dass seine Umlaufperiode umso länger ist, je weiter der Planet von der Sonne entfernt ist.

Das soeben hergeleitete dritte Keplersche Gesetz gilt auch in Bezug auf die Erde für die Bewegung des Mondes und künstlicher Satelliten.

Von Nathan Augusto
Abschluss in Physik

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm