Eine Funktion heißt Polynomfunktion, wenn ihr Bildungsgesetz a. ist Polynom. Polynomfunktionen werden nach dem Grad ihres Polynoms klassifiziert. Wenn zum Beispiel das Polynom, das das Funktionsbildungsgesetz beschreibt, den Grad zwei hat, sagen wir, dass dies eine Polynomfunktion zweiten Grades ist.
Um den Zahlenwert einer Polynomfunktion zu berechnen, einfach Variable durch gewünschten Wert ersetzen, wodurch das Polynom in einen numerischen Ausdruck umgewandelt wird. Beim Studium von Polynomfunktionen ist die grafische Darstellung ziemlich häufig. Die Polynomfunktion 1. Grades hat einen Graphen, der immer einer Geraden gleicht. Die Funktion 2. Grades hat einen Graphen, der einer Parabel gleicht.
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Was ist eine Polynomfunktion?
Eine Funktion f: R → R heißt Polynomfunktion, wenn ihr Bildungsgesetz ein Polynom ist:
f(x) = aNeinxNein + dien-1xn-1 + dien-2xn-2 + … + die2x2 + die1x + a0
Auf was:
x → ist die Variable.
n → ist a natürliche Zahl.
DasNein, einn-1, einn-2, … Das2,Das1 und der0 → sind Koeffizienten.
Die Koeffizienten sind reale Nummern die die polynomiale Variable begleiten.
Beispiele:
f(x) = x5 + 3x4 – 3x3 + x² - x + 1
f(x) = -2x³ + x – 7
f(x) = x9
Wie bestimme ich den Polynomfunktionstyp?
Es gibt verschiedene Arten von Polynomfunktionen. Sie ist nach dem Grad des Polynoms klassifiziert. Wenn der Grad 1 ist, wird die Funktion als Polynomfunktion 1. Grades oder Polynomfunktion 1. Grades oder auch als affine Funktion bezeichnet. Unten finden Sie Beispiele für Funktionen von Grad 1 bis Grad 6.
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Grad der Polynomfunktion
Was den Grad der Polynomfunktion definiert, ist der Grad des Polynoms, also Wir können eine Polynomfunktion jeden Grades haben.
Polynomfunktion Grad 1
Damit eine Polynomfunktion entweder Polynom 1. Grades oder Polynom 1. Grades ist, das Bildungsgesetz der Funktion muss sein f(x) = ax + b, wobei a und b reelle Zahlen sind und a 0. DAS Polynomfunktion Grad 1 es ist auch als affine Funktion bekannt.
Beispiele:
f(x) = 2x – 3
f(x) = -x + 4
f(x) = -3x
Polynomfunktion Grad 2
Damit eine Polynomfunktion ein Polynom 2. Grades oder ein Polynom 2. Grades ist, gilt Funktionsbildungsgesetz muss seinf(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0. Einer Polynomfunktion 2. Grades sie kann auch als quadratische Funktion bezeichnet werden.
Beispiele:
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(x) = – x² + 2x
f(x) = 3x² + 4
f(x) = x²
Polynomfunktion Grad 3
Damit eine Polynomfunktion ein Polynom 3. oder 3. Grades ist, gilt Funktionsbildungsgesetz muss seinf(x) = ax³ + bx² + cx + d, wobei a und b reelle Zahlen sind und a 0. Die Funktion vom Grad 3 kann auch als kubische Funktion bezeichnet werden.
Beispiele:
f(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1
f(x) = -5x³ + 4x² + 2x
f(x) = 3x³ + 8x – 4
f(x) = -7x³
Polynomfunktion Grad 4
Sowohl für die Polynomfunktion vom Grad 4 als auch für die anderen ist die Argumentation gleich.
Beispiele:
f(x) = 2x4 + x³ - 5x² + 2x + 1
f(x) = x4 + 2x³ - x
f(x) = x4
Polynomfunktion Grad 5
Beispiele:
f(x) = x5 – 2x4 + x3 – 3x² + x + 9
f(x) = 3x5 + x3 – 4
f(x) = -x5
Polynomfunktion vom Grad 6
Beispiele:
f(x) = 2x6 – 7x5 + x4 – 5x3 + x² + 2x – 1
f(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
f(x) = 3x6 + 2x² + 5x
f(x) = x6
Numerischer Wert der Funktion
Das Rollenbildungsgesetz kennen f(x), um den numerischen Wert von zu berechnen Besetzung für einen Wert Nein, Berechnen Sie einfach den Wert von f(Nein). Deshalb, wir haben die Variable im Bildungsgesetz ersetzt.
Beispiel:
gegeben die Funktion f(x) = x³ + 3x² – 5x + 4, wir finden den Zahlenwert der Funktion für x = 2.
Um den Wert von zu finden f(x) wenn x = 2, werden wir tun f(2).
f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 12 – 10 + 4
f(2) = 20 – 10 + 4
f(2) = 10 + 4
f(2) = 14
Wir können sagen, dass das Bild der Funktion oder der Zahlenwert der Funktion bei x = 2 gleich 14 ist.
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Polynomfunktionsgraphen
In der represent vertreten Kartesische Ebene die Funktion stellen wir auf der x-Achse die Werte von x dar und das Bild von f(x), durch Punkte in der Ebene. Die Punkte auf der kartesischen Ebene sind vom Typ (Nein, f(Nein)).
Beispiel 1:
f(x) = 2x - 1
Der Graph einer Funktion 1. Grades ist immer a Gerade.
Beispiel 2:
f(x) = x² - 2x - 1
Der Funktionsgraph 2. Grades ist immer a Gleichnis.
Beispiel 3:
f(x) = x³ - x
Der Graph der Funktion 3. Grades wird als kubisch bezeichnet.
Gleichheit von Polynomen
Damit zwei Polynome gleich sind, ist es notwendig, dass bei der Durchführung der Vergleich zwischen Sie Ihre Begriffe, die Koeffizienten sind gleich.
Beispiel:
Gegeben die folgenden Polynome p(x) und g(x) und wissen, dass p(x) = g(x), bestimme den Wert von a, b, c und d.
p (x) = 2x³ + 5x² + 3x – 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c – 2) x + d
Da die Polynome gleich sind, gilt:
ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c – 2)x = 3x
d = -4
Beachten Sie, dass wir bereits den Wert von d haben, da d = -4. Wenn wir nun jeden der Koeffizienten berechnen, müssen wir:
ax³ = 2x³
a = 2
Wenn wir den Wert von a kennen, ermitteln wir den Wert von b:
(a + b) x² = 5x²
a + b = 5
a = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Den Wert von c ermitteln:
(c – 2)x = 3x
c – 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Auch sehen: Polynomgleichung - Gleichung, die dadurch gekennzeichnet ist, dass sie ein Polynom gleich 0. hat
Polynomoperationen
Bei zwei Polynomen ist es möglich, die Operationen von Addition Subtraktion und Multiplikation zwischen diesen algebraischen Termen.
Zusatz
Die Addition zweier Polynome wird berechnet durch die Summe von Sierähnliche Hände. Damit zwei Begriffe ähnlich sind, muss der wörtliche Teil (Buchstabe mit Exponent) gleich sein.
Beispiel:
Sei p (x) = 3x² + 4x + 5 und q (x) = 4x² – 3x + 2, berechne den Wert von p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Hervorheben ähnlicher Begriffe:
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
Fügen wir nun die Koeffizienten ähnlicher Terme hinzu:
(3 + 4)x² + (4 - 3)x + 7
7x² + x + 7
Polynomsubtraktion
Die Subtraktion ist der Addition sehr ähnlich, jedoch bevor Sie die Operation ausführen, wir schreiben das entgegengesetzte Polynom.
Beispiel:
Daten: p (x) = 2x² + 4x + 3 und q (x) = 5x² – 2x + 1, berechnen p (x) – q (x).
Das entgegengesetzte Polynom von q (x) ist -q (x), was nichts anderes ist als das Polynom q (x) mit dem Gegenteil jedes der Terme.
q(x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x² + 2x – 1
Wir berechnen also:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
Um ähnliche Begriffe zu vereinfachen, haben wir:
(2 - 5)x² + (4 + 2)x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2
Polynommultiplikation
Das Multiplizieren des Polynoms erfordert die Anwendung des Verteilungsvermögensd.h. wir multiplizieren jeden Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Termes.
Beispiel:
(x + 1) · (x² + 2x – 2)
Wenden wir die Verteilungseigenschaft an, müssen wir:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
x3 + 2x² + -2x – 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
Polynomdivision
Um die zu berechnen Division zwischen zwei Polynomen, verwenden wir dieselbe Methode, mit der wir die Division zweier Zahlen berechnen, die Schlüsselmethode.
Beispiel:
Berechnen Sie p (x): q (x), wobei Sie wissen, dass p (x) = 15x² + 11x + 2 und q (x) = 3x + 1 ist.
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Übungen gelöst
Frage 1 - Die täglichen Produktionskosten einer Automobilteileindustrie zur Herstellung einer bestimmten Teilemenge sind durch das Gründungsgesetz gegeben f(x) = 25x + 100, wobei x die an diesem Tag produzierte Stückzahl ist. In dem Wissen, dass an einem bestimmten Tag 80 Stück produziert wurden, betrugen die Produktionskosten dieser Stücke:
A) BRL 300
B) BRL 2100
C) BRL 2000
D) BRL 1800
E) BRL 1250
Auflösung
Alternative B
f(80) = 25 · 80 + 100
f(80) = 2000 + 100
f(80) = 2100
Frage 2 - Der Grad der Funktion h(x) = f(x) · G(x), wissend, dass f (x) = 2x² + 5x und G(x) = 4x - 5, ist:
BIS 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Auflösung
Alternative C
Zuerst finden wir das Polynom, das das Ergebnis der Multiplikation zwischen ist f(X und G(x):
f(x) · G(x) = (2x² + 5x) · (4x – 5)
f(x) · G(x) = 8x³ – 10x² + 20x – 25x
Beachten Sie, dass dies ein Polynom vom Grad 3 ist, also ist der Grad der Funktion h(x) 3.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm
