Die Winkelhalbierende ist eine gerade Linie, die senkrecht zu einem Liniensegment verläuft und durch den Mittelpunkt dieses Segments verläuft.
Alle zur Winkelhalbierenden gehörenden Punkte sind von den Enden dieses Segments gleich weit entfernt.
Denken Sie daran, dass das Liniensegment im Gegensatz zur unendlichen Linie durch zwei Punkte auf einer Linie begrenzt wird. Das heißt, es wird als Teil der Linie betrachtet.
Wie baut man die Winkelhalbierende?
Wir können die Winkelhalbierende einer Geraden konstruieren mit Lineal und Kompass. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:
- Zeichnen Sie ein Liniensegment und markieren Sie an seinen Enden Punkt A und Punkt B.
- Nehmen Sie ein Maß und machen Sie eine Öffnung, die etwas größer als die halbe Länge des Segments ist.
- Platzieren Sie mit dieser Öffnung das trockene Ende des Zirkels an Punkt A und zeichnen Sie einen Halbkreis. Bleiben Sie bei der gleichen Öffnung in der Bar und machen Sie dasselbe bei Punkt B.
- Die nachgezeichneten Halbkreise schnitten sich an zwei Punkten, einem oberhalb des Liniensegments und einem darunter. Verbinden Sie mit dem Lineal diese beiden Punkte, diese gezeichnete Linie ist die Winkelhalbierende des Segments AB.
Halbierende eines Dreiecks
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks sind senkrechte Linien, die durch den Mittelpunkt jeder seiner Seiten gezogen werden. Ein Dreieck hat also 3 Halbierende.
Der Treffpunkt dieser drei Winkelhalbierenden heißt Umkreis. Dieser Punkt, der von jedem seiner Eckpunkte den gleichen Abstand hat, ist der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises im Dreieck.
Median, Halbierende und Höhe eines Dreiecks
In einem Dreieck können wir zusätzlich zu den Winkelhalbierenden Mediane konstruieren, das sind Segmente von Linien, die auch durch den Mittelpunkt der Seiten verlaufen.
Der Unterschied besteht darin, dass die Winkelhalbierende a Winkel 90º mit der Seite verbindet der Median den Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seiten und bildet einen Winkel, der 90º betragen kann oder nicht.
Wir können immer noch Höhen und Winkelhalbierende. Die Höhe ist auch senkrecht zu den Seiten des Dreiecks, aber ein Teil seines Scheitelpunkts. Im Gegensatz zur Winkelhalbierenden geht die Höhe nicht unbedingt durch den Mittelpunkt der Seite.
Ausgehend vom Scheitelpunkt können wir die inneren Winkelhalbierenden verfolgen, die Segmente von Geraden sind, die die Winkel des Dreiecks in zwei andere Winkel gleichen Maßes teilen.
In einem Dreieck können wir drei Mediane zeichnen und sie treffen sich an einem Punkt namens Schwerpunkt. Dieser Punkt wird als Schwerpunkt eines Dreiecks bezeichnet.
Der Schwerpunkt teilt die Mediane in zwei Teile, da der Abstand vom Punkt zum Scheitel das Doppelte des Abstands vom Punkt zur Seite beträgt.
Während der Treffpunkt der Höhen (oder deren Verlängerungen) genannt wird Orthozentrum, das Treffen der inneren Halbierenden wird einberufen Center.
gelöste Übungen
1) Epcar - 2016
Ein Land in Form eines rechtwinkligen Dreiecks wird durch einen Zaun auf der Hypotenusehalbierenden in zwei Parzellen geteilt, wie in der Abbildung gezeigt.
Es ist bekannt, dass die Seiten AB und BC dieses Geländes 80 m bzw. 100 m messen. Somit ist das Verhältnis zwischen dem Umfang von Los I und dem Umfang von Los II in dieser Reihenfolge
Um das Verhältnis zwischen den Perimetern zu ermitteln, ist es notwendig, die Abmessungen aller Seiten von Los I und Los II zu kennen.
Allerdings kennen wir die Maße der Seiten nicht ,
und
von Los I, noch das Maß von
von Los II.
Den Messwert finden wir zunächst auf der Seite , unter Anwendung des Satzes des Pythagoras, das heißt:
Wir können diesen Wert auch finden, indem wir feststellen, dass wir ein Vielfaches des pythagoräischen Dreiecks 3, 4 und 5 haben.
Wenn also eine Seite 80 m misst (4. 20), der andere misst 100 m (5. 20), sodass die dritte Seite nur 60 m messen kann (3. 20).
Wir wissen, dass der Zaun die Winkelhalbierende der Hypotenuse ist, also teilt er diese Seite in zwei gleiche Teile und bildet mit der Seite einen 90º-Winkel. Auf diese Weise ist das PMB-Dreieck ein Rechteck.
Beachten Sie, dass die Dreiecke PMB und ACB ähnlich sind, da sie Winkel mit dem gleichen Maß haben. die Seite anrufen von x haben wir diese Seite
wird gleich 80-x sein.
Daher können wir die folgenden Proportionen schreiben:
Das Maß an der Seite müssen wir noch finden . Um diesen Wert zu finden, nennen wir diese Seite y. Durch Ähnlichkeit von Dreiecken finden wir den folgenden Anteil:
Da wir nun das Maß von allen Seiten kennen, können wir die Umfänge der Lose berechnen:
Beachten Sie vor der Berechnung des Umfangs von Los II, dass die Messung von wird gleich sein
, d.h
. Auf diese Weise ist der Umfang:
Somit ist das Verhältnis zwischen den Perimetern gleich:
Alternative: d)
2) Feind - 2013
In den letzten Jahren hat das Fernsehen eine echte Revolution in Bezug auf Bildqualität, Ton und Interaktivität mit dem Zuschauer erlebt. Diese Transformation ist auf die Umwandlung des analogen Signals in das digitale Signal zurückzuführen. Viele Städte verfügen jedoch noch nicht über diese neue Technologie. Um diese Vorteile in drei Städte zu bringen, beabsichtigt ein Fernsehsender, einen neuen Sendemast zu bauen, der ein Signal an die in diesen Städten bereits vorhandenen Antennen A, B und C sendet. Die Standorte der Antennen sind in der kartesischen Ebene dargestellt:
Der Turm muss sich an einem äquidistanten Standort von den drei Antennen befinden. Der richtige Ort für den Bau dieses Turms entspricht dem Koordinatenpunkt
a) (65; 35).
b) (53; 30).
c) (45; 35).
d) (50; 20).
e) (50; 30).
Da der Turm in gleicher Entfernung von den drei Antennen gebaut werden soll, muss er sich an einem Punkt befinden, der zur Halbierenden der Linie AB gehört, wie in der Abbildung unten dargestellt:
Aus dem Bild schließen wir, dass die Abszisse des Punkts gleich 50 ist. Jetzt müssen wir den Ordinatenwert finden. Nehmen wir dazu an, dass der Abstand zwischen den Punkten AT und AC gleich ist:
Alternative: e) (50; 30)
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