Der flache Figurenbereich repräsentiert die Ausdehnung der Figur in der Ebene. Als flache Figuren können wir unter anderem das Dreieck, das Rechteck, die Raute, das Trapez, den Kreis nennen.
Verwenden Sie die folgenden Fragen, um Ihr Wissen zu diesem wichtigen Thema der Geometrie zu überprüfen.
Wettbewerbsprobleme behoben
Frage 1
(Cefet/MG - 2016) Die quadratische Fläche eines Geländes muss in vier gleiche Teile, auch quadratisch, unterteilt werden und, in einem von ihnen muss ein Naturwaldreservat (schraffierte Fläche) gepflegt werden, wie in Abbildung a. dargestellt Folgen.
Zu wissen, dass B der Mittelpunkt des Segments AE und C der Mittelpunkt des Segments EF ist, der schraffierten Fläche, in m2, Gib mir
a) 625.0.
b) 925.5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Richtige Alternative: c) 1562.5.
Wenn wir die Abbildung betrachten, stellen wir fest, dass die schraffierte Fläche der Fläche des Quadrats mit einer Seite von 50 m minus der Fläche der Dreiecke BEC und CFD entspricht.
Das Maß der Seite BE, des Dreiecks BEC, beträgt 25 m, da Punkt B die Seite in zwei kongruente Segmente teilt (Mittelpunkt des Segments).
Das gleiche passiert mit den Seiten EC und CF, das heißt, ihre Maße sind ebenfalls gleich 25 m, da Punkt C der Mittelpunkt des Segments EF ist.
Somit können wir die Fläche der Dreiecke BEC und CFD berechnen. Betrachtet man zwei Seiten, die als Basis bekannt sind, entspricht die andere Seite der Höhe, da Dreiecke Rechtecke sind.
Wenn wir die Fläche des Quadrats und der Dreiecke BEC und CFD berechnen, haben wir:
Daher ist die schraffierte Fläche in m2, misst 1562,5.
Frage 2
(Cefet/RJ - 2017) Ein Quadrat mit einer x-Seite und ein gleichseitiges Dreieck mit einer y-Seite haben Flächen des gleichen Maßes. Somit kann gesagt werden, dass das x/y-Verhältnis gleich ist:
Richtige Alternative: .
Die im Problem gegebene Information ist, dass die Bereiche gleich sind, d.h.:
Die Fläche des Dreiecks ergibt sich, indem man das Grundmaß mit dem Höhenmaß multipliziert und das Ergebnis durch 2 teilt. Da das Dreieck gleichseitig und die Seite gleich y ist, ergibt sich sein Höhenwert wie folgt:
Daher kann gesagt werden, dass das x/y-Verhältnis gleich ist .
Frage 3
(IFSP - 2016) Ein öffentlicher Platz in Form eines Kreises hat einen Radius von 18 Metern. Markieren Sie in Anbetracht der obigen Ausführungen die Alternative, die Ihr Gebiet darstellt.
a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m²2
d) 1.698,44 m²2
e) 1.710,34 m²2
Richtige Alternative: a) 1 017, 36 m2.
Um die Fläche des Quadrats zu finden, müssen wir die Formel für die Fläche des Kreises verwenden:
A = .R2
Durch Einsetzen des Radiuswertes und unter Berücksichtigung von considering = 3,14 finden wir:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36m2
Daher beträgt die quadratische Fläche 1 017, 36 m2.
Frage 4
(IFRS - 2016) Ein Rechteck hat x- und y-Dimensionen, die durch die x-Gleichungen ausgedrückt werden2 = 12 und (y - 1)2 = 3.
Der Umfang und die Fläche dieses Rechtecks sind jeweils
a) 6√3 + 2 und 2 + 6√3
b) 6√3 und 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 und 12
d) 6 und 2√3
e) 6√3 + 2 und 2√3 + 6
Richtige Alternative: e) 6√3 + 2 und 2√3 + 6.
Lassen Sie uns zuerst die Gleichungen lösen, um die Werte von x und y zu finden:
x2= 12 ⇒ x = √12 = √4,3 = 2√3
(j - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Der Umfang des Rechtecks ist gleich der Summe aller Seiten:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Um die Fläche zu finden, multiplizieren Sie einfach x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Daher sind Umfang und Fläche des Rechtecks 6√3 + 2 bzw. 2√3 + 6.
Frage 5
(Lehrling Matrose - 2016) Analysieren Sie die folgende Abbildung:
In dem Wissen, dass EP der Radius des mittleren Halbkreises in E ist, wie in der obigen Abbildung gezeigt, bestimmen Sie den Wert des dunkelsten Bereichs und aktivieren Sie die richtige Option. Daten: Zahl π=3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm²2
Richtige Alternative: b) 12 cm2.
Der dunkelste Bereich wird gefunden, indem der Bereich des Halbumfangs zum Bereich des Dreiecks ABD addiert wird. Beginnen wir mit der Berechnung der Fläche des Dreiecks. Beachten Sie dazu, dass das Dreieck ein Rechteck ist.
Nennen wir die AD-Seite von x und berechnen ihr Maß mit dem Satz des Pythagoras, wie unten angegeben:
52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Wenn wir das Maß auf der AD-Seite kennen, können wir die Fläche des Dreiecks berechnen:
Wir müssen noch die Fläche des Halbumfangs berechnen. Beachten Sie, dass sein Radius gleich der Hälfte der Messung auf der AD-Seite ist, also r = 2 cm. Der Halbumfangsbereich ist gleich:
Der dunkelste Bereich wird gefunden, indem Sie Folgendes tun: AT = 6 + 6 = 12 cm²2
Daher beträgt der Wert des dunkelsten Bereichs 12 cm2.
Frage 6
(Enem - 2016) Ein Mann, Vater von zwei Kindern, möchte zwei gleich große Grundstücke kaufen, eines für jedes Kind. Eines der besuchten Grundstücke ist bereits abgegrenzt und hat, obwohl es kein konventionelles Format hat (wie in Abbildung B gezeigt), dem ältesten Sohn gefallen und wurde daher gekauft. Der jüngste Sohn hat ein Architekturprojekt für ein Haus, das er bauen möchte, aber dafür braucht er eines Geländes in rechteckiger Form (wie in Abbildung A gezeigt), dessen Länge 7 m länger ist als die Breite.
Um den jüngsten Sohn zufriedenzustellen, muss dieser Herr ein rechteckiges Stück Land finden, dessen Maße in Metern, Länge und Breite gleich sind
a) 7,5 und 14,5
b) 9,0 und 16,0
c) 9,3 und 16,3
d) 10,0 und 17,0
e) 13,5 und 20,5
Richtige Alternative: b) 9.0 und 16.0.
Da die Fläche von Figur A gleich der Fläche von Figur B ist, berechnen wir zuerst diese Fläche. Teilen wir dazu Abbildung B, wie im Bild unten gezeigt:
Beachten Sie, dass wir beim Teilen der Figur zwei rechtwinklige Dreiecke haben. Daher ist die Fläche von Abbildung B gleich der Summe der Flächen dieser Dreiecke. Wenn wir diese Bereiche berechnen, haben wir:
Da Figur A ein Rechteck ist, wird seine Fläche wie folgt ermittelt:
DASDAS = x. (x + 7) = x2 + 7x
Wenn wir die Fläche von Abbildung A mit dem für die Fläche von Abbildung B gefundenen Wert gleichsetzen, finden wir:
x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0
Lassen Sie uns die Gleichung 2. Grades mit der Formel von Bhaskara lösen:
Da ein Maß nicht negativ sein kann, betrachten wir einfach den Wert gleich 9. Daher beträgt die Breite des Grundstücks in Abbildung A 9 m und die Länge 16 m (9+7).
Daher müssen die Längen- und Breitenmaße 9,0 bzw. 16,0 betragen.
Frage 7
(Enem - 2015) Ein Mobilfunkunternehmen hat zwei Antennen, die durch eine neue, leistungsstärkere ersetzt werden. Die Abdeckungsbereiche der zu ersetzenden Antennen sind Kreise mit einem Radius von 2 km, deren Umfang tangential zum Punkt O ist, wie in der Abbildung gezeigt.
Punkt O zeigt die Position der neuen Antenne an, und ihr Abdeckungsbereich ist ein Kreis, dessen Umfang die Umfänge der kleineren Abdeckungsbereiche extern tangiert. Mit der Installation der neuen Antenne wurde die Messung des Versorgungsgebiets in Quadratkilometern um
a) 8
b) 12 Stunden
c) 16 Stunden
d) 32
e) 64
Richtige Alternative: a) 8 π.
Die Vergrößerung der Reichweitenmessung wird durch Verkleinern der Flächen der kleineren Kreise des größeren Kreises (bezogen auf die neue Antenne) ermittelt.
Da der Umfang des neuen Abdeckungsbereichs extern die kleineren Umfänge berührt, beträgt sein Radius 4 km, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:
Berechnen wir die Flächen A1 und der2 der kleineren Kreise und Fläche A3 aus dem größeren Kreis:
DAS1 = A2 = 22. π = 4 π
DAS3 = 42.π = 16 π
Die Messung des vergrößerten Bereichs wird gefunden, indem Sie Folgendes tun:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Daher wurde mit der Installation der neuen Antenne die Reichweite in Quadratkilometern um 8 erhöht.
Frage 8
(Enem - 2015) Diagramm I zeigt die Konfiguration eines Basketballplatzes. Die grauen Trapeze, Ballons genannt, entsprechen Sperrzonen.
Mit dem Ziel, die Richtlinien des Zentralkomitees des Internationalen Basketballverbandes (Fiba) im Jahr 2010 zu erfüllen, die die Markierungen vereinheitlichten der verschiedenen Legierungen war bei den Ballons der Gerichte eine Modifikation vorgesehen, die zu Rechtecken werden würde, wie im Schema gezeigt II.
Nach Durchführung der geplanten Änderungen hat sich die von jedem Ballon eingenommene Fläche geändert, was einer (a)
a) Zunahme von 5800 cm2.
b) 75 400 cm Erhöhung2.
c) Zunahme von 214 600 cm2.
d) Abnahme von 63 800 cm2.
e) Abnahme von 272 600 cm2.
Richtige Alternative: a) Erhöhung um 5800 cm².
Um herauszufinden, wie sich die belegte Fläche geändert hat, berechnen wir die Fläche vor und nach der Änderung.
Bei der Berechnung von Schema I verwenden wir die Formel für die Trapezfläche. In Diagramm II verwenden wir die Formel für die Fläche des Rechtecks.
Die Bereichsänderung ist dann:
A = AII - EINich
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Daher kam es nach Durchführung der geplanten Umbaumaßnahmen zu einer Änderung der von jedem Ballon eingenommenen Fläche, was einer Zunahme von 5800 cm² entspricht.
Übungsvorschläge (mit Auflösung)
Frage 9
Ana beschloss, in ihrem Haus einen rechteckigen Pool mit einer Grundfläche von 8 m und einer Höhe von 5 m zu bauen. Rings um ihn herum war er, wie ein Trapez geformt, mit Gras gefüllt.
Wie groß ist die Fläche des mit Gras gefüllten Teils, wenn man weiß, dass die Höhe des Trapezes 11 m beträgt und seine Basen 20 m und 14 m betragen?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Richtige Alternative: c) 147 m2.
Da das Rechteck, das den Pool darstellt, in eine größere Figur, das Trapez, eingefügt wird, berechnen wir zunächst die Fläche der äußeren Figur.
Die Trapezfläche berechnet sich nach der Formel:
Wo,
B ist das Maß der größten Basis;
b ist das Maß der kleinsten Basis;
h ist die Höhe.
Durch Ersetzen der Anweisungsdaten in der Formel erhalten wir:
Berechnen wir nun die Fläche des Rechtecks. Dazu müssen wir nur die Basis mit der Höhe multiplizieren.
Um die mit Gras bedeckte Fläche zu finden, müssen wir die vom Pool eingenommene Fläche von der Trapezfläche abziehen.
Daher war die mit Gras gefüllte Fläche 147 m² groß2.
Auch sehen: Trapezbereich
Frage 10
Um das Dach seines Lagerhauses zu renovieren, beschloss Carlos, koloniale Ziegel zu kaufen. Bei diesem Dachtyp werden pro Quadratmeter Dach 20 Stück benötigt.
Wenn das Dach des Ortes aus zwei rechteckigen Platten besteht, wie in der obigen Abbildung, wie viele Ziegel muss Carlos kaufen?
a) 12000 Kacheln
b) 16000 Kacheln
c) 18000 Kacheln
d) 9600 Fliesen
Richtige Alternative: b) 16000 Kacheln.
Das Lagerdach besteht aus zwei rechteckigen Platten. Daher müssen wir die Fläche eines Rechtecks berechnen und mit 2 multiplizieren.
Somit beträgt die Gesamtdachfläche 800 m.2. Wenn jeder Quadratmeter 20 Ziegel benötigt, berechnen wir mit einer einfachen Dreierregel, wie viele Ziegel das Dach jeder Lagerhalle füllen.
Daher müssen 16 Tausend Fliesen gekauft werden.
Auch sehen: Rechteckiger Bereich
Frage 11
Marcia hätte gerne zwei identische Holzvasen, die den Eingang zu ihrem Haus schmücken. Da sie nur einen ihrer Favoriten kaufen konnte, beschloss sie, einen Tischler zu beauftragen, eine weitere Vase mit den gleichen Abmessungen zu bauen. Die Vase muss vier Seiten in einer gleichschenkligen Trapezform haben und die Basis ist ein Quadrat.
Wie viele Quadratmeter Holz werden ohne Berücksichtigung der Holzdicke benötigt, um das Stück zu reproduzieren?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Richtige Alternative: d) 0,3121 m2.
Ein gleichschenkliges Trapez ist der Typ, der gleiche Seiten und unterschiedlich große Basen hat. Aus dem Bild haben wir die folgenden Maße des Trapezius auf jeder Seite des Gefäßes:
Kleinere Basis (b): 19 cm;
Größere Basis (B): 27 cm;
Höhe (h): 30 cm.
Mit den vorliegenden Werten berechnen wir die Trapezfläche:
Da das Gefäß aus vier Trapezen besteht, müssen wir die gefundene Fläche mit vier multiplizieren.
Jetzt müssen wir die Basis der Vase berechnen, die aus einem 19 cm großen Quadrat besteht.
Durch Addition der berechneten Flächen ergibt sich die Gesamtholzfläche, die zum Bauen verwendet werden soll.
Die Fläche muss jedoch in Quadratmetern angegeben werden.
Daher wurden ohne Berücksichtigung der Holzdicke 0,3121 m benötigt2 Material zur Herstellung der Vase.
Auch sehen: Quadratische Fläche
Frage 12
Um die Berechnung zu erleichtern, wie viele Personen an öffentlichen Veranstaltungen teilnehmen, wird in der Regel davon ausgegangen, dass ein Quadratmeter von vier Personen belegt wird.
Um das Jubiläum einer Stadt zu feiern, engagierte die Stadtregierung eine Band, die auf dem Platz im Zentrum mit einer Fläche von 4000 m² spielen sollte2. Wie viele Leute nahmen ungefähr an der Veranstaltung teil, wenn man wusste, dass der Platz voll war?
a) 16 Tausend Menschen.
b) 32 Tausend Menschen.
c) 12 Tausend Menschen.
d) 40.000 Menschen.
Richtige Alternative: a) 16 Tausend Menschen.
Ein Quadrat hat vier gleiche Seiten und seine Fläche berechnet sich nach der Formel: A = L x L.
wenn in 1 m2 Es wird von vier Personen besetzt, so dass die vierfache Gesamtfläche des Platzes uns die Schätzung der Personen gibt, die an der Veranstaltung teilgenommen haben.
So nahmen 16 Tausend Menschen an der vom Rathaus geförderten Veranstaltung teil.
Um mehr zu erfahren, siehe auch:
- Flache Figurenbereiche
- Geometrische Formen
- Satz des Pythagoras - Übungen
