Übungen zu Eigenschaften von Potenzen

DAS Potenzierung ist eine mathematische Operation, mit der das Produkt einer Zahl durch sich selbst ausgedrückt wird. Diese Operation hat einige wichtige Eigenschaften, die es ermöglichen, viele Berechnungen zu vereinfachen und zu lösen.

Das Wichtigste Potenzierungseigenschaften Sie sind:

→ Potenzierung mit einem Exponenten gleich Null:

$\dpi{120} \mathbf{a^0 = 1, a\neq 0}$

→ Potenzierung mit einem Exponenten gleich 1:

$\dpi{120} \mathbf{a^1 = a}$

→ Potenzierung negativer Zahlen mit $\dpi{120} \mathrm{a>0}$ und $\dpi{120} \mathrm{m}$ gerade Zahl:

$\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = a^m}$

→ Potenzierung negativer Zahlen mit $\dpi{120} \mathrm{a>0}$ und $\dpi{120} \mathrm{m}$ eine ungerade Zahl:

$\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = -(a^m) }$

→ Macht einer Macht:

$\dpi{120} \mathbf{(a^m)^n = a^{m\cdot n}}$

→ Potenz mit negativem Exponenten:

$\mathbf{a^{-m} = \bigg(\frac{1}{a}\bigg)^m = \frac{1}{a^m}}$

→ Potenzmultiplikation:

$\dpi{120} \mathbf{a^m\cdot a^n = a^{m+n}}$

→ Leistungsaufteilung:

$\dpi{120} \mathbf{a^m: a^n = a^{m-n}}$

Um mehr zu erfahren, besuchen Sie a Liste der Übungen zu Potenzeigenschaften. Alle Probleme wurden gelöst, damit Sie Ihre Zweifel ausräumen können.

Index

Übungen zu Eigenschaften von Potenzen
Lösung von Frage 1
Lösung von Frage 2
Lösung von Frage 3
Lösung von Frage 4
Lösung von Frage 5
Lösung von Frage 6
Lösung von Frage 7
Lösung von Frage 8

Übungen zu Eigenschaften von Potenzen

Frage 1. Berechnen Sie die folgenden Potenzen: $\dpi{120} (-3)^2$ , $\dpi{120} (-1)^9$ , $\dpi{120} (-5)^3$ und $\dpi{120} (-2)^6$ .

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Frage 2. Berechnen Sie die folgenden Potenzen: $\dpi{120} 4^2$ , $\dpi{120} -4^2$ und $\dpi{120} (-4)^2$ .

Frage 3. Berechnen Sie die negativen Potenzen des Exponenten: $\dpi{120} 5^{-1}$ , $\dpi{120} 8^{-2}$ , $\dpi{120} (-3)^{-3}$ und $\dpi{120} (-1)^{-8}$ .

Frage 4. Berechnen Sie die folgenden Potenzen: $\dpi{120} (4^2)^3$ , $\dpi{120} (-2^3)^{-1}$ , $\dpi{120} (3^2)^{-2}$ und $\dpi{120} (5^{-1})^{-2}$ .

Frage 5. Machen Sie die Multiplikationen zwischen Potenzen:

$\dpi{120} 3^2\cdot 3^3$

$\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3}$

$\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1$

Frage 6. Machen Sie die Aufteilungen zwischen den Mächten: $\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}$ , $\dpi{120} \frac{2^5}{2^0}$ und $\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}}$ .

Frage 7. Berechnen Sie die folgenden Potenzen: $\dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2$ , $\dpi{120} \left ( -\frac{2}{5} \right )^3$ , $\dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4$ .

Frage 8. Berechnung:

$\dpi{120} \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\cdot 3 ^{-2}}$

Lösung von Frage 1

Wie in $\dpi{120} (-3)^2$ der Exponent gerade ist, wird die Potenz positiv sein:

$\dpi{120} (-3)^2 = 3^2 = 9$

Wie in $\dpi{120} (-1)^9$ der Exponent ungerade ist, wird die Potenz negativ sein:

$\dpi{120} (-1)^9 = -(1^9) = -1$

Wie in $\dpi{120} (-5)^3$ der Exponent ungerade ist, wird die Potenz negativ sein:

$\dpi{120} (-5)^3 = -(5^3)= - 125$

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Wie in $\dpi{120} (-2)^6$ der Exponent gerade ist, wird die Potenz positiv sein:

$\dpi{120} (-2)^6= 2^6 = 64$

Lösung von Frage 2

In allen drei Fällen ist die Leistung gleich, mit Ausnahme des Vorzeichens, das positiv oder negativ sein kann:

$\dpi{120} 4^2 = 16$

$\dpi{120} -4^2 =- (4^2) = -16$

$\dpi{120} (-4)^2 = 4^2 = 16$

Lösung von Frage 3

die Macht $\dpi{120} 5^{-1}$ ist der Kehrwert der Potenz $\dpi{120} 5^{1}$ :

$\dpi{120} 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$

die Macht $\dpi{120} 8^{-2}$ ist der Kehrwert der Potenz $\dpi{120} 8^{2}$ :

$\dpi{120} 8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$

die Macht $\dpi{120} (-3)^{-3}$ ist der Kehrwert der Potenz $\dpi{120} (-3)^{3}$ :

$\dpi{120} (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-(3^3)} = -\frac{1}{ 27}$

die Macht $\dpi{120} (-1)^{-8}$ ist der Kehrwert der Potenz $\dpi{120} (-1)^{8}$ :

$\dpi{120} (-1)^{-8} = \frac{1}{(-1)^8} = \frac{1}{1^8} = 1$

Lösung von Frage 4

In jedem Fall können wir die Exponenten multiplizieren und dann die Potenz berechnen:

$\dpi{120} (4^2)^3 = 4^{2\cdot 3} = 4^6 = 4096$

$\dpi{120} (-2^3)^{-1} =(-2)^{3\cdot -1} = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2) ^3} = -\frac{1}{8}$

$\dpi{120} (3^2)^{-2} = 3^{2\cdot -2} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{ 81}$

$\dpi{120} (5^{-1})^{-2} = 5^{-1\cdot -2} = 5^2 = 25$

Lösung von Frage 5

In jedem Fall addieren wir die Exponenten der Potenzen derselben Basis:

$\dpi{120} 3^2\cdot 3^3 = 3^{2 + 3} = 3^5= 243$

$\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3} = 2^{2 -2 +3} = 2^3 = 8$

$\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1 = 3^{-1 +2}\cdot 5^{5- 3+1}= 3^1\cdot 5^3 = 3\cdot 125 = 375$

Lösung von Frage 6

In jedem Fall subtrahieren wir die Exponenten der Potenzen derselben Basis:

$\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}= 3^{6 -4} = 3^2 =9$

$\dpi{120} \frac{2^5}{2^0} = 2^{5-0} =2^5 = 32$

$\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}} = 5^{-9 -(-7)} = 5^{-9+7} = 5^{-2 }= \frac{1}{25}$

Lösung von Frage 7

In jedem Fall erheben wir beide Terme zum Exponenten:

$\dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2 = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{27}$

$\dpi{120} \left ( -\frac{2}{5} \right)^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$

$\dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$

Lösung von Frage 8

$\dpi{120} \small \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\ cdot 3^{-2}} = \frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{3^{1}\cdot 2^5} = 2^{-2-5}\cdot 3^{-1-1} = 2^{-7}\cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^7\cdot 3^2} = \frac{1}{1152}$

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