Verwenden trigonometrischer Beziehungen

Beim trigonometrische Beziehungen sind Formeln, die die Winkel und Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung setzen. Diese Formeln beinhalten die Funktionen Sinus, Cosinus und Tangensund haben viele Anwendungen bei geometrischen Problemen mit dieser Art von Dreieck.

Trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck

Ö rechtwinkliges Dreieck es ist das Dreieck, das einen rechten Winkel (90°) und zwei spitze Winkel (weniger als 90°) hat. Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks werden Hypotenuse und Seiten genannt, und die Seiten können je nach Bezugswinkel gegenüberliegend oder benachbart sein.

Rechteck Dreieck

Elemente des rechtwinkligen Dreiecks:

Hypotenuse: Seite gegenüber rechtem Winkel;
Gegenseite: Seite gegenüber dem betrachteten spitzen Winkel;
Angrenzende Seite: Seite hinter dem betrachteten spitzen Winkel.

Formeln:

unter Berücksichtigung des Winkels $\dpi{120} \alpha$ des rechtwinkligen Dreiecks müssen wir:

$\dpi{120} \mathbf{sen\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{catheto\, entgegengesetzt}{hypotenuse}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{catheto\, benachbart}{hypotenuse}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{Seite\, gegenüber}{Seite\, angrenzend}}$

Hinweis: Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist immer gleich, die gegenüberliegenden und benachbarten Seiten variieren in Bezug auf den betrachteten spitzen Winkel.

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Beispiele - Verwenden von trigonometrischen Beziehungen

Nachfolgend finden Sie Beispiele für die Verwendung trigonometrischer Beziehungen.

Beispiel 1: Berechnen Sie den Wert von x und y im folgenden Dreieck:

Dreieck

Aus dem Sinus des 30°-Winkels können wir den Wert von x bestimmen, der die Hypotenuse des Dreiecks ist.

$\dpi{120} \mathrm{sen\, 30^{\circ} =\frac{5}{x}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ x=\frac{5}{sen\, 30^{\circ}}}$

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$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow x = 10}$

Eine Möglichkeit, den Wert von y zu ermitteln, ist der Kosinus des 30°-Winkels. In diesem Fall ist y der dem 30°-Winkel benachbarte Schenkel.

$\dpi{120} \mathrm{cos\, 30^{\circ} =\frac{y}{10}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ y = 10\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ y \approx 9}$

Beispiel 2: Bestimmen Sie das Maß der Winkel $\dpi{120} \alpha$ und $\dpi{120} \beta$ aus dem Dreieck unten:

Dreieck

Zuerst bestimmen wir den Winkel $\dpi{120} \alpha$ :

$\dpi{120} \mathrm{sen\, \alpha = \frac{5}{6,4}}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \alpha = sen^{-1} \left ( \frac{5}{6,4}\right )}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \alpha \approx 51,37^{\circ}}$

Jetzt bestimmen wir den Winkel $\dpi{120} \beta$ :

$\dpi{120} \mathrm{sen\, \beta = \frac{4}{6,4}}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \beta = sen^{-1} \left ( \frac{4}{6,4}\right )}$

$\dpi{120} \Rightarrow \beta \approx 38,68$

Beachten Sie, dass wir in beiden Fällen Sinus verwendet haben, aber wir könnten auch Cosinus verwenden und zu den gleichen Ergebnissen kommen.

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