Satz von D'Alembert

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Ö Satz von D'Alembertt lässt wissen, ob a PolynomP(x) ist durch ein Binomial vom Typ ax + b teilbar, noch bevor die Division zwischen ihnen durchgeführt wird.

Mit anderen Worten, der Satz erlaubt uns zu wissen, ob der Rest R der Division gleich Null ist oder nicht. Dieser Satz ist eine unmittelbare Konsequenz aus dem Ruhesatz zur Division von Polynomen. Verstehen Sie, warum unten.

Ruhesatz

Beim Dividieren eines Polynoms P(x) durch ein Binomial vom Typ ax + b ist der Rest R gleich dem Wert von P(x), wenn x die Wurzel des Binomials ax + b ist.

Binomialwurzel: ax + b = 0 ⇒ x = -b/a. Nach dem Restsatz müssen wir also:

R = P(-b/a)

Sehen Sie nun, dass wenn P(-b/a) = 0 ist, dann R = 0 und wenn R = 0, wir eine Teilbarkeit zwischen den Polynomen haben. Und genau das sagt uns der Satz von D'Alembert.

Satz von D'Alembert: wenn P(-b/a) = 0, dann ist das Polynom P(x) durch das Binomial ax + b teilbar.

Beispiel 1

Prüfen Sie, ob das Polynom P(x) = 6x² + 2x durch 3x + 1 teilbar ist.

1.) Wir bestimmen die Wurzel von 3x + 1:

-b/a = -1/3

2) Wir ersetzen x durch -1/3 im Polynom P(x) = 6x² + 2x:

P(-1/3) = 6.(-1/3)² + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6.(1/9) + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6/9 - 2/3
P(-1/3) = 2/3 - 2/3
P(-1/3) = 0

Da P(-1/3) = 0, ist das Polynom P(x) = 6x² + 2x durch 3x + 1 teilbar.

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Beispiel 2

Prüfen Sie, ob das Polynom P(x) = 12x³ + 4x² – 8x durch 4x teilbar ist.

1.) Wir bestimmen die Wurzel von 4x:

-b/a = -0/4 = 0

2.) Wir ersetzen x durch 0 im Polynom P(x) = 12x³ + 4x² – 8x:

P(0) = 12,0³ + 4,0² - 8,0
P(0) = 0 + 0 - 0
P(0) = 0

Da P(0) = 0, ist das Polynom P(x) = 12x³ + 4x² – 8x durch 4x teilbar.

Beispiel 3

Prüfen Sie, ob das Polynom P(x) = x² – 2x + 1 durch x – 2 teilbar ist.

1.) Wir bestimmen die Wurzel von x – 2:

-b/a = -(-2)/1 = 2

2.) Wir ersetzen x durch 2 im Polynom P(x) = x² - 2x + 1:

P(2) = 2² - 2,2 + 1
P(2) = 4 - 4 +1
P(2) = 1

Da P(2) ≠ 0 ist, ist das Polynom P(x) = x² – 2x + 1 nicht durch x – 2 teilbar.

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