Übungen zu komplexen Zahlen: Liste der gelösten Fragen und Feedback

Sie komplexe Zahlen machen es möglich, mathematische Probleme zu lösen, die keine Lösungen in der Menge von. haben reale Nummern.

In einer komplexen Zahl geschrieben als $\dpi{120} z = a+ bi$ , das sagen wir $\dpi{120} zu$ ist der wahre Teil, $\dpi{120} b$ ist der Imaginärteil und $\dpi{120} ich =\sqrt{-1}$ es ist die imaginäre Einheit.

Aufführen Operationen mit komplexen Zahlen, gibt es einige Ausdrücke, die Berechnungen erleichtern. Erwägen $\dpi{120} z_1 = a+ bi$ und $\dpi{120} z_2 = c + di$ .

Additionsausdruck zwischen komplexen Zahlen:

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d) i$

Ausdruck der Subtraktion zwischen komplexen Zahlen:

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d) i$

Ausdruck der Multiplikation zwischen komplexen Zahlen:

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - db)+(ad +cb) i$

Ausdruck der Division zwischen komplexen Zahlen:

$\dpi{120} \frac{z_1}{z_2}= \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc - ad)}{c^2 + d^2 }ich$

Unten ist eine Liste von Fragen mit Übungen zu komplexen Zahlen gelöst. Lernen Sie, jedes der Konzepte mit diesen Zahlen zu verwenden!

Index

Liste der Übungen zu komplexen Zahlen
Lösung von Frage 1
Lösung von Frage 2
Lösung von Frage 3
Lösung von Frage 4
Lösung von Frage 5
Lösung von Frage 6
Lösung von Frage 7
Lösung von Frage 8

Liste der Übungen zu komplexen Zahlen

Frage 1. Unter Berücksichtigung der komplexen Zahlen $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ , $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ und $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ bestimme den Wert von $\dpi{120} A$ , Wann $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

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Frage 2. Finden Sie die Werte von $\dpi{120} x$ und $\dpi{120} y$ so dass $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Frage 3. Unter Berücksichtigung der komplexen Zahlen $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ und $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ , bestimme den Wert von $\dpi{120} A\cdot B$ , Wann $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ und $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Frage 4. Berechnen Sie den Wert von $\dpi{120} p$ und $\dpi{120} q$ Wofür $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Wann $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ und $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Frage 5. Bestimmen Sie den Wert von $\dpi{120} zu$ Wofür $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ eine reine imaginäre Zahl sein.

Frage 6. Berechnen Sie die folgenden imaginären Einheitsleistungen $\dpi{120} i$ :

Das) $\dpi{120} i^{16}$
B) $\dpi{120} i^{200}$
ç) $\dpi{120} i^{829}$
d) $\dpi{120} i^{11475}$

Frage 7. Finden Sie die Lösung der Gleichung $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ in der Menge der komplexen Zahlen.

Frage 8. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ in der Menge der komplexen Zahlen.

Lösung von Frage 1

Wir haben $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ und $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ und $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ und wir wollen den Wert von bestimmen $\dpi{120} A$ , Wann $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Zuerst rechnen wir $\dpi{120} 4z_3$ und $\dpi{120} 3z_1$ , getrennt:

$\dpi{120} 4z_3 = 4.(-1 + 4i) = -4 + 16i$

$\dpi{120} 3z_1 = 3.(2 + 3i) = 6 + 9i$

Jetzt rechnen wir $\dpi{120} A$ :

$\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2 - 5i) +(-4+16i) -(6+9i)$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2-4-6) + (-5+16-9)i$

$\dpi{120} \Rightarrow A= -8 + 2i$

Lösung von Frage 2

Wir wollen x und y finden, damit $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Durch den Ausdruck der Summe zwischen zwei komplexen Zahlen müssen wir:

$\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$

$\dpi{120} \Rightarrow (2 + y) + (x-5)i = 3-i$

Also müssen wir haben $\dpi{120} (2 + y) = 3$ und $\dpi{120} (x-5)i=-i$ . Lassen Sie uns diese beiden Gleichungen lösen, um x und y zu finden.

$\dpi{120} (2 + y) = 3\Rightarrow y = 3-2\Rightarrow y =1$

$\dpi{120} (x-5)i=-i\Rightarrow x- 5 = -1 \Rightarrow x = -1 + 5 \Rightarrow x = 4$

Lösung von Frage 3

Wir haben $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ und $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ und wir wollen den Wert von bestimmen $\dpi{120} A\cdot B$ , Wann $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ und $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Zuerst berechnen wir $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ .

$\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$

$\dpi{120} \Rightarrow A = (-2 - 5i)\cdot (-2+5i)$

Durch den Ausdruck der Multiplikation zwischen zwei komplexen Zahlen müssen wir:

$\dpi{120} A =[(-2)\cdot (-2) -(-5)\cdot 5 ]+[(-2)\cdot 5 + (-5)\cdot (-2)]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =[4 +25]+[-10 +10]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =29$

Jetzt rechnen wir $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

$\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$

$\dpi{120} \Rightarrow B = (1 + 3i)\cdot (1-3i)$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1\cdot 1 - 3\cdot (-3)] +[1\cdot (-3)+1\cdot 3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1 + 9] +[-3+3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = 10$

Deshalb, $\dpi{120} A\cdot B = 29\cdot 10 = 290$ .

Lösung von Frage 4

Wir wollen den Wert von berechnen $\dpi{120} p$ und $\dpi{120} q$ Wofür $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Wann $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ und $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Es bedeutet zu finden $\dpi{120} p$ und $\dpi{120} q$ so dass:

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$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = q + 2i$

Durch den Ausdruck der Division zwischen zwei komplexen Zahlen müssen wir:

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = \frac{[3\cdot 1+(-p)\cdot 2]}{1^2+2^2} + \frac{[ (-p)\cdot 1-3\cdot 2]}{1^2+2^2}i = \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i$

Wenn wir die beiden Bedingungen verbinden, müssen wir haben:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i = q + 2i$

D.h.:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q \: \: \mathrm{e}\: \: \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

Lassen Sie uns jede dieser Gleichungen lösen, beginnend mit der zweiten, die nur von p abhängt.

$\dpi{120} \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{(-p-6)}{5} = 2$

$\dpi{120} \Rightarrow -p - 6 = 10$

$\dpi{120} \Rightarrow p = -16$

Nun finden wir q durch die andere Gleichung:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{3 - 2\cdot (-16)}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow q = 7$

Lösung von Frage 5

Wir wollen den Wert von ermitteln $\dpi{120} zu$ Wofür $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ eine reine imaginäre Zahl sein.

Eine reine imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Realteil gleich Null ist.

Betrachten wir den Ausdruck der Division zwischen zwei komplexen Zahlen, so erhalten wir:

$\dpi{120} \frac{a + 3i}{3 + 2i} = \frac{a\cdot 3 + 3\cdot 2}{3^3 + 2^2} + \frac{3\cdot 3 - a \cdot 2}{3^3 + 2^2}i = \frac{3a + 6}{13} + \frac{9-2a}{13}i$

Damit diese Zahl rein imaginär ist, müssen wir haben:

$\dpi{120} \frac{3a + 6}{13} = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow a = -2$

Lösung von Frage 6

Durch die Definition von Potenzen und komplexen Zahlen müssen wir:

$\dpi{120} i^0 = 1$
$\dpi{120} i^1 = i$
$\dpi{120} ich ^2 = -1$
$\dpi{120} i^3 = -i$
$\dpi{120} i^4=1$
$\dpi{120} i^5 = i$
$\dpi{120} i^6 = -1$
$\dpi{120} i^7 = -i$

Beobachte ein Muster, das sich alle vier aufeinanderfolgenden Potenzen wiederholt: 1, i, -1 und -i.

Um das Ergebnis bei einer beliebigen Potenz von i zu finden, dividiere einfach den Exponenten durch 4. Der Rest der Division ist 0, 1, 2 oder 3 und dieser Wert ist der Exponent, den wir verwenden sollten.

Das) $\dpi{120} i^{16}$

16: 4 = 4 und der Rest ist 0.

Dann, $\dpi{120} i^{16} = i^0 = 1$ .