Winkel zwischen zwei Vektoren

In Mathematik oder Physik ist die Vektoren Sie sind gerade Segmente mit Richtung, Richtung und Länge, mit denen Größen wie Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung dargestellt werden.

Vektoren geben Trajektorien an und können mithilfe eines Koordinatensystems (x, y) definiert werden. Betrachtet man den Punkt (0,0) als Ursprung des Segments, wird in der folgenden Abbildung ein Vektor dargestellt. $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}}$ wessen Ende ist der Punkt $\dpi{120} \boldsymbol{ $x_1, y_1$}$ .

Notation: $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ .

der ordinierte $\dpi{120} \boldsymbol{x_1}$ heißt die horizontale Komponente und die Abszisse $\dpi{120} \boldsymbol{y_1}$ , der vertikalen Komponente.

Betrachten Sie nun zusätzlich zum Vektor $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ , ein anderer Vektor $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ und einem zwischen ihnen gebildeten Winkel, wie in der Abbildung unten gezeigt.

Dieser Winkel zwischen den Vektoren kann durch eine Formel berechnet werden, die das Skalarprodukt zwischen den Vektoren und der Norm (Länge) jedes Vektors beinhaltet.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Zwei Vektorwürfel $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ und $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ , der Kosinus des Winkels $\dpi{120} \boldsymbol{\theta}$ unter ihnen bezieht sich auf das interne Produkt zwischen den Vektoren und ihren Standards wie folgt:

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$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{\left\langle \vec{u}, \vec{v} \right\rangle}{\|\vec{u} \|.\| \vec{v} \| }}$

Der Zähler des Bruchs ist das innere Produkt zwischen den Vektoren, gegeben durch:

$\dpi{120} \boldsymbol{\left\lange \vec{u}, \vec{v}\, \right\rangle = x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}$

Und der Nenner ist das Produkt zwischen den Standards jedes der Vektoren wie folgt:

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$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{u}\|= \sqrt{(x_1)^2+ (y_1)^2}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{v}\|= \sqrt{(x_2)^2+ (y_2)^2}}$

Durch den Austausch haben wir verifiziert, dass die Winkelformel zwischen zwei Vektoren é:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}{\sqrt{(x_1)^2+(y_1)^2} \cdot \sqrt{(x_2 .) ) )^2+(y_2)^2}}}$

Beispiel:

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $2,4$}$ und $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $5,3$}$ .

Wenn wir die Werte in der Formel anwenden, müssen wir:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{2\cdot 5+4\cdot 3}{\sqrt{(2)^2+(4)^2} \cdot \sqrt{(5 .) )^2+(3)^2}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{10+12}{\sqrt{4+16} \cdot \sqrt{25+9}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{\theta = cos^{-1}\left (\frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}} \right) }$

Mit einem Taschenrechner oder a trigonometrische Tabelle, wir können das sehen:

$\dpi{120} \boldsymbol{ \theta = 32,47^{\circ}}$

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