Prismabereich: Berechnung, Beispiele, Übungen

Prismen sind dreidimensionale Figuren, die von. gebildet werden zwei kongruente und parallele Basen, die Basen wiederum werden gebildet durch konvexe Polygone. Die anderen Flächen, die als Seitenflächen bezeichnet werden, werden gebildet durch Parallelogramme. Um die Fläche eines Prismas zu bestimmen, ist es notwendig, seine Planung und berechnen Sie dann die Fläche der flachen Figur.

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Planung eines Prismas

Die Idee der Planung besteht darin, eine dreidimensionale Figur in eine zu verwandeln zweidimensionale Figur. In der Praxis würde dies dem Schneiden über die Kanten des Prismas entsprechen. Unten sehen Sie ein Beispiel für die Planung eines Dreiecksprismas.

Der gleiche Prozess kann für jedes Prisma übernommen werdenBeachten Sie jedoch, dass die Aufgabe immer schwieriger wird, wenn wir die Anzahl der Seiten der Basispolygone erhöhen. Aus diesem Grund werden wir basierend auf der Planung dieser Verallgemeinerungen anstellen Polygon.

Berechnung der Seitenfläche

Betrachtet man das Bild des Dreiecksprismas, so haben wir, dass die Parallelogramme ABFC, ABFD und ACDE die Seitenflächen. Notiere dass der Seitenflächen eines Prismas sind immer Parallelogramme Unabhängig von der Anzahl der Seiten der Basispolygone geschieht dies, weil sie parallel und kongruent sind.

Wenn wir uns die dreieckige Prismenfigur ansehen, sehen wir auch, dass wir drei Seitenflächen haben. Dies liegt an der Anzahl der Seiten des Basispolygons, d. h. wenn die Prismenbasen ein Viereck sind, wir haben vier Seitenflächen, wenn die Basen ein Fünfeck sind, haben wir fünf Seitenflächen und so weiter. So: die Anzahl der Seiten des Basispolygons beeinflusst die Anzahl der Seitenflächen des Prismas.

deshalb, die Seitenbereich (A_L) eines Prismas ist durch die Fläche einer Seitenfläche multipliziert mit der Anzahl der Seitenflächen gegeben, dh es ist die Fläche des Parallelogramms multipliziert mit der Anzahl der Seiten der Fläche.

DAS_L = (Basis · Höhe) · Anzahl der Seitenflächen

• Beispiel

Berechnen Sie die seitliche Fläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas mit einer Basiskante von 3 cm und einer Höhe von 11 cm.

Das betreffende Prisma wird dargestellt durch:

Die Seitenfläche berechnet sich dann aus der Fläche des Rechtecks ​​mal der Anzahl der Seiten des Basispolygons, also 6, also:

DAS_L = (Basis · Höhe) · Anzahl der Seitenflächen

DAS_L = (3 · 11) · 6

DAS_L = 198 cm²²

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Berechnung der Grundfläche

Prismen können verschiedene Formen haben.

DAS Grundfläche (DAS_B) eines Prismas hängt von dem Polygon ab, aus dem es besteht. Wie bei einem Prisma haben wir zwei parallele und deckungsgleiche Flächen, die Grundfläche ergibt sich aus der Summe der Flächen der parallelen Polygone, also der doppelten Fläche des Polygons.

DAS_B = 2 · Polygonfläche

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• Beispiel

Berechnen Sie die Grundfläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas mit einer Grundkante von 3 cm und einer Höhe von 11 cm.

Die Basis dieses Prismas ist ein regelmäßiges Sechseck, und dieses sieht von oben gesehen so aus:

Notiere dass der Dreiecke innerhalb des Sechsecks gebildet sind gleichseitig, so dass die Fläche des Sechsecks sechsmal so groß ist gleichseitige Dreiecksfläche.

Beachten Sie jedoch, dass wir im Prisma zwei Sechsecke haben, sodass die Grundfläche doppelt so groß ist wie die Fläche des Polygons.

Berechnung der Gesamtfläche

DAS Gesamtfläche (A_T) eines Prismas ergibt sich aus der Summe der Seitenfläche (DAS_L) mit der Grundfläche (DAS_B).

DAS_T = A_L + A_B

• Beispiel

Berechnen Sie die Gesamtfläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas mit einer Basiskante von 3 cm und einer Höhe von 11 cm.

Aus den vorherigen Beispielen haben wir, dass A_L = 198 cm²² und der_B = 27√3 cm². Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch:

gelöste Übungen

Frage 1 – Ein Schuppen hat die Form eines Prismas, das auf einem Trapez basiert, wie in der Abbildung gezeigt.

Sie möchten diesen Schuppen streichen und es ist bekannt, dass der Preis für Farbe 20 Reais pro Quadratmeter beträgt. Wie viel kostet es, diesen Schuppen zu streichen? (Gegeben: √2 = 1,4)

Lösung

Lassen Sie uns zunächst die Fläche des Schuppens bestimmen. Seine Basis ist ein Trapez, also:

Daher ist die Grundfläche:

DAS_B = 2 ·A_Trapez

DAS_B = 2 ·10

DAS_B = 20 m²

Der rote Seitenbereich ist ein Rechteck, und wir haben den unteren Bereich, also ist dieser Bereich:

DAS_V = 2 · 4· 14

DAS_V= 112 m²

Die blaue Fläche ist ebenfalls ein Rechteck, aber wir haben keine Basis. Verwendung der Satz des Pythagoras in dem durch das Trapez gebildeten Dreieck gilt:

x² = 2² + 2²

x² = 8

x = 2√2

Der rechteckige Bereich in Blau ist also:

DAS_DAS = 2 ·14·2√2

DAS_DAS = 54√2 m²

Daher ist die seitliche Fläche des Prismas gleich:

DAS_L = 112 + 54√2

DAS_L = 112 + 75,6

DAS_L = 187,6 m²

Und so ist die Gesamtfläche dieses Prismas:

DAS_T= 20 + 187,6

DAS_T= 207,6 m²

Da der Preis für die Farbe 20 Reais pro Quadratmeter beträgt, beträgt der Aufwand für die Lackierung des Schuppens:

20 ·207,6 = 4.152 Reais

Antworten: Der Betrag, der für die Lackierung des Schuppens ausgegeben wird, beträgt 4.152,00 R$

von Robson Luis
Mathematiklehrer