Ausbreitungsmaße: Varianz und Standardabweichung

Im Studium von Statistik, haben wir einige Strategien, um zu überprüfen, ob die in einem Datensatz dargestellten Werte gestreut sind oder nicht und wie weit sie voneinander entfernt sein können. Die Werkzeuge, die dies ermöglichen, werden klassifiziert als classified Ausbreitungsmaßnahmen und rief an Abweichung und Standardabweichung. Mal sehen, was jeder von ihnen repräsentiert:

Abweichung:

• Bei einem gegebenen Datensatz ist die Varianz ein Maß für die Streuung, das anzeigt, wie weit jeder Wert in diesem Datensatz vom zentralen (Durchschnitts-)Wert entfernt ist.

• Je kleiner die Varianz, desto näher liegen die Werte am Mittelwert; aber je größer er ist, desto weiter sind die Werte vom Mittelwert entfernt.

• Berücksichtige das x₁, x₂, …, x_NeinSie sind die Nein Elemente von a Stichprobe ist das X und das arithmetische Mittel dieser Elemente. Die Berechnung von Stichprobenabweichung Es wird gegeben von:

  Abw. Probe = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_Nein – x)²
  ​n - 1

• Wollen wir hingegen die

  Populationsvarianz, betrachten wir alle Elemente der Grundgesamtheit, nicht nur eine Stichprobe. In diesem Fall weist die Berechnung einen kleinen Unterschied auf. Uhr:

  Abw. Bevölkerung = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_Nein – x)²
  Nein

Standardabweichung:

• Die Standardabweichung ist in der Lage, den „Fehler“ in einem Datensatz zu identifizieren, wenn wir einen der gesammelten Werte durch den arithmetischen Mittelwert ersetzen wollten.

• Die Standardabweichung erscheint neben dem arithmetischen Mittel und gibt an, wie „zuverlässig“ dieser Wert ist. Es wird wie folgt präsentiert:

  arithmetisches Mittel (x) ± Standardabweichung (sd)

• Die Berechnung der Standardabweichung erfolgt aus der positiven Quadratwurzel der Varianz. Deshalb:

  dp = var

Wenden wir nun die Varianz- und Standardabweichungsberechnung in einem Beispiel an:

An einer Schule beschloss der Vorstand, sich die Zahl der Schüler anzusehen, die in allen Fächern überdurchschnittliche Noten aufweisen. Um dies besser analysieren zu können, beschloss Direktorin Ana, eine Tabelle mit der Anzahl der „blauen“ Noten in einer Stichprobe von vier Klassen über ein Jahr zusammenzustellen. Siehe unten die vom Schulleiter organisierte Tabelle:

Vor der Berechnung der Varianz ist es notwendig, die arithmetischer Durchschnitt(x) die Zahl der überdurchschnittlichen Schüler in jeder Klasse:

6. Jahr → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7. Jahr → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8. Jahr → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9. Jahr → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Um die Varianz der Schülerzahl über dem Durchschnitt in jeder Klasse zu berechnen, verwenden wir a Stichprobe, deshalb verwenden wir die Formel von Stichprobenabweichung:

Abw. Probe = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_Nein – x)²
n - 1

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6. Jahr → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

7. Jahr → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

8. Jahr → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

9. Jahr → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Sobald die Varianz jeder Klasse bekannt ist, berechnen wir nun die Standardabweichung:

6. Jahr dp = var dp = √4,33 ​dp 2,08

7. Jahr dp = var dp = √8.00 ​dp 2,83

8. Jahr dp = var dp = √6,91 ​dp 2,63

9. Jahr dp = var dp = √13,66 ​dp 3,70

Zur Vervollständigung ihrer Analyse kann die Schulleiterin folgende Werte präsentieren, die die durchschnittliche Schülerzahl über dem Durchschnitt pro befragter Klasse angeben:

6. Jahr: 7,50 ± 2,08 Studierende überdurchschnittlich pro Semester;
7. Jahr: 8,00 ± 2,83 Studierende über dem Durchschnitt pro zwei Monate;
8. Jahr: 8,75 ± 2,63 Studierende über dem Durchschnitt pro zwei Monate;
9. Jahr: 8,50 ± 3,70 Studierende über dem Durchschnitt pro zwei Monate;

Ein weiteres Maß für die Streuung ist die Variationskoeffizient. Aussehen hier wie berechnet man das!

Von Amanda Gonçalves
Abschluss in Mathematik