Die Studie über numerische Sätze stellt eines der Hauptgebiete der Mathematik dar, da sie für die theoretische Entwicklung des Gebietes sehr wichtig sind und mehrere praktische Anwendungen haben. Numerische Sätze umfassen im Studium:
- natürliche Zahlen;
- ganze Zahlen;
- Rationale Zahlen;
- irrationale Zahlen;
- reale Nummern; und
- komplexe Zahlen.
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Satz natürlicher Zahlen
Die Entwicklung der ersten Zivilisationen brachte die Verbesserung der Landwirtschaft und des Handels mit sich und folglich die Verwenden von Zahlen zur Darstellung von Mengen. Das erste Set kam natürlich, daher der Name. Die natürliche benannte Menge wird verwendet, um Größen darzustellen, sie wird bezeichnet durch Symbol ℕ und ist in Sequenzform geschrieben. Aussehen:
Ö Zahlensatz naturaist é unendlich und geschlossen für Operationen von Zusatz und Multiplikation, das heißt, immer wenn wir zwei natürliche Zahlen addieren oder multiplizieren, ist die Antwort immer noch natürlich. Für die Subtraktionsoperation und
Einteilung, die Menge ist nicht geschlossen. Aussehen:5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Beachten Sie, dass die Zahlen –1 und 0,5 sie gehören nicht zur Menge der natürlichen Zahlen, und dies ist die Rechtfertigung für die Schaffung und das Studium neuer Zahlenmengen.
Wenn wir außerdem ein Sternchen (*) in das Symbol der natürlichen Menge einfügen, müssen wir die Zahl Null aus der Liste entfernen, siehe:
ganze Zahlen gesetzt
Das ganze Zahlenset kam mit dem müssen den Betrieb von Subtraktion keine Einschränkungen. Wie wir gesehen haben, gehört die Antwort, wenn eine kleinere Zahl von einer größeren abgezogen wird, nicht zur Gruppe der Naturwissenschaftler.
Die Menge der ganzen Zahlen wird auch durch eine unendliche Zahlenfolge dargestellt und wird mit bezeichnet Symbol ℤ.
Wie in der Menge der natürlichen Zahlen wird durch Platzieren eines Sterns im Symbol ℤ das Element Null wie folgt aus der Menge entfernt:
Das (–)-Symbol, das eine Zahl begleitet, zeigt an, dass sie symmetrisch ist, also ist die Symmetrie der Zahl 4 die Zahl –4. Beachten Sie auch, dass die Menge der natürlichen Zahlen in der Menge der ganzen Zahlen enthalten ist, dh die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen.
ℕ ⸦ ℤ
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Menge rationaler Zahlen
Ö Menge rationaler Zahlen é dargestellt durch das Symbol represented und wird nicht durch eine Zahlenfolge dargestellt. Dieser Satz besteht aus allen Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können. Wir stellen seine Elemente wie folgt dar:
Wir wissen, dass jede ganze Zahl durch a. dargestellt werden kann Fraktion, d. h. die Menge der ganzen Zahlen ist in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. die Menge der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Zahlen mit unendlicher Darstellung, wie z periodische Zehnten, haben auch eine Darstellung in Form eines Bruchs, sind also auch rational.
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Satz irrationaler Zahlen
Wie wir gesehen haben, ist eine Zahl rational, wenn sie als Bruch geschrieben werden kann. Es wurde auch gesagt, dass unendliche und periodische Zahlen rational sind, jedoch gibt es einige Zahlen, die kann nicht in Form eines Bruches geschrieben werden und die daher nicht zur Menge der rationalen Zahlen gehören.
Diese nicht-rationalen Zahlen heißen irrational und seine Hauptmerkmale sind die Unendlich des Dezimalteils und Nicht-Häufigkeitd.h. keine Zahl im Dezimalteil wird wiederholt. Sehen Sie einige Beispiele für irrationale Zahlen.
- Beispiel 1
Die Quadratwurzeln von Zahlen, die keine perfekten Quadrate sind.
- Beispiel 2
Konstanten aus besonderen Gründen wie Goldzahl, Eulerzahl oder Pi.
Satz reeller Zahlen
Ö Menge reeller Zahlen wird durch das Symbol ℝ dargestellt und wird gebildet durch das Einheitder Menge der rationalen Zahlen mit der Menge der irrationalen Zahlen. Denken Sie daran, dass die Menge der rationalen Zahlen die Vereinigung von natürlichen und ganzzahligen Mengen ist.
Wenn wir die reellen Zahlen auf einer Linie anordnen, haben wir, dass die Zahl Null der Ursprung der Linie ist, rechts von Null die positiven Zahlen und links die negativen Zahlen.
Da diese Achse reell ist, können wir sagen, dass zwischen zwei Zahlen unendliche Zahlen liegen und dass diese Achse sowohl in der positive Richtung wenn in negative Richtung.
Satz komplexer Zahlen
Ö Komplexe Zahlenmenge es ist das letzte und es ist aus demselben Grund entstanden wie die Menge der ganzen Zahlen, das heißt, es ist eine Operation, deren Entwicklung nur mit der Menge der reellen Zahlen nicht möglich ist.
Wenn Sie die folgende Gleichung lösen, sehen Sie, dass sie keine Lösung hat, da Sie nur die reellen Zahlen kennen.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Beachten Sie, dass wir eine Zahl finden müssen, die, wenn erhebendÖ quadriert, ergibt eine negative Zahl. Wir wissen das jede quadrierte Zahl ist immer positiv, daher hat diese Rechnung keine reelle Lösung.
So entstanden die komplexen Zahlen, in denen a imaginäre Zahl bezeichnet durch ich, was folgenden Wert hat:
Machen Sie sich also klar, dass die Gleichung das hatte vorher keine lösung jetzt hat es. Auschecken:
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tatsächliche Intervalle
In einigen Fällen werden wir nicht jede reelle Achse verwenden, das heißt, wir verwenden Teile davon, die aufgerufen werden geht kaputt. Diese Intervalle sind Teilmengen der Menge der reellen Zahlen. Als nächstes werden wir einige Notationen für diese Teilmengen festlegen.
Geschlossener Bereich - ohne die Extreme einzubeziehen
Ein Intervall ist geschlossen, wenn es hat seine zwei Extreme, also das Minimum und das Maximum, und in diesem Fall die Extreme gehören nicht ins Sortiment. Wir bezeichnen dies mit einer offenen Kugel. Aussehen:
In Rot sind die Zahlen, die zu diesem Bereich gehören, das heißt, es sind Zahlen größer als a und kleiner als b. Algebraisch schreiben wir ein solches Intervall wie folgt:
die < x
Wobei die Zahl x alle reellen Zahlen sind, die in diesem Bereich liegen. Wir können es auch symbolisch darstellen. Aussehen:
]Das; B[ oder (Das; B)
Geschlossener Bereich – auch Extreme
Verwenden wir nun geschlossene Kugeln, um das darzustellen die Extreme gehören zum Bereich.
Wir sammeln also reelle Zahlen, die zwischen a und b liegen, einschließlich dieser. Algebraisch drücken wir ein solches Intervall aus durch:
die xb
In symbolischer Notation haben wir:
[Das; B]
Geschlossener Bereich - einschließlich eines der Extreme
Wir haben immer noch mit geschlossenen Intervallen zu tun, aber wir haben jetzt den Fall, wo nur eines der Extreme ist enthalten. Daher schließt sich eine der Murmeln und zeigt an, dass die Zahl zum Bereich gehört, und die andere nicht, um anzuzeigen, dass die Zahl nicht zu diesem Bereich gehört.
Algebraisch stellen wir diesen Bereich wie folgt dar:
die x
Symbolisch haben wir:
[Das; B[ oder [Das; B)
Offenes Sortiment - kein Ende inklusive
Ein Bereich wird geöffnet, wenn hat kein maximales oder minimales Element. Jetzt sehen wir einen Fall mit offenem Bereich, der nur ein maximales Element hat, das nicht im Bereich enthalten ist.
Sehen Sie, dass das Sortiment besteht aus reelle Zahlen kleiner alsB, und beachte auch das die Zahl b gehört nicht zum Bereich (offener Ball), also können wir das Intervall algebraisch darstellen durch:
x
Symbolisch können wir es darstellen durch:
] – ∞; B[ oder (– ∞; B)
Offener Bereich - einschließlich des Extrems
Ein weiteres Beispiel für einen offenen Bereich ist der Fall, in dem das Extrem eingeschlossen ist. Hier haben wir einen Bereich, in dem das minimale Element erscheint, siehe:
Beachten Sie, dass alle reellen Zahlen größer oder gleich der Zahl a sind, also können wir diesen Bereich algebraisch schreiben durch:
xzu
Symbolisch haben wir:
[Das; +∞[ oder [Das; +∞)
offener Bereich
Ein weiterer Fall von offenem Bereich wird gebildet durch Zahlen größer und kleiner als die auf der reellen Linie festgelegten Zahlen. Aussehen:
Beachten Sie, dass die reellen Zahlen, die zu diesem Bereich gehören, diejenigen sind, die kleiner oder gleich der Zahl a sind, oder diejenigen, die größer als die Zahl b sind, also müssen wir:
x zu oderx > b
Symbolisch haben wir:
] – ∞; a] U ] b; + ∞[
oder
(– ∞; a] U(b; + ∞)
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm