Ö Pyramidenvolumen wird berechnet, indem die Grundfläche und die Höhe multipliziert und durch drei geteilt werden. Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, muss man wissen, welches Polygon die Basis dieser Pyramide bildet Pyramide, deshalb, zum jede Base verwenden wir eine andere Formel um die zu finden Ihre Bereich. Wir können das Volumen des Prismas auf das Volumen einer Pyramide mit der gleichen Höhe und Fläche wie die Grundfläche beziehen, da das Volumen der Pyramide einem Drittel des Volumens des Prismas entspricht.
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Wie wird das Volumen der Pyramide berechnet?
Das Volumen der Pyramide kann durch eine Formel berechnet werden, die direkt von der Polygon die die Basis bildet. Um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:
V → Lautstärke
DASB → Fläche am Fuß der Pyramide
H → Pyramidenhöhe
Die Basis einer Pyramide kann durch ein beliebiges Vieleck gebildet werden.
, also können wir eine Pyramide mit dreieckiger Basis, eine Pyramide mit quadratischer Basis und eine Pyramide mit sechseckiger Basis haben. Wie auch immer, jedes Polygon kann die Basis der Pyramide sein, und da es sich um ein Polygon handelt, gibt es eine bestimmte Formel, um die Fläche seiner Basis zu berechnen.
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Pyramide mit quadratischer Basis
In einer quadratischen Pyramide wissen wir, dass die Fläche der area Quadrat berechnet sich aus der Länge der quadratischen Seite, d. h. A = Dort². Um also das Volumen einer quadratischen Pyramide zu berechnen, berechnen wir das Produkt aus dem Quadrat der Basiskante und der Höhe der Pyramide und dividieren durch drei. Siehe ein Beispiel unten.
Beispiel:
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide unten, da Sie wissen, dass ihre Basis von einem Quadrat gebildet wird:
Bei der Pyramide misst die Höhe h 6 cm und der Rand ihrer Basis misst 3 cm.
Dann, berechnen wir zuerst die Fläche der Basis AB. Die Fläche des Quadrats ist gleich Dort², also müssen wir:
DASB = Dort²
DASB = 3²
DASB = 9 cm²
Jetzt, da wir den Grundflächenwert kennen, ersetzen Sie einfach das Höhenmaß und das Grundflächenmaß in der Pyramidenvolumenformel:
Pyramide mit dreieckiger Basis
Wenn die Basis der Pyramide dreieckig ist, verwenden wir zur Berechnung der Grundfläche die Formel von Fläche eines Dreiecks, was gleich dem Produkt aus Basis und Höhe dividiert durch zwei ist.
Beispiel:
Berechnen Sie ihr Volumen, wenn Sie wissen, dass die folgende Pyramide 9 cm hoch ist:
Als Basis ist a Dreieck, berechnen wir zuerst die Fläche der Basis, das ist die Länge der Basis mal die Länge der Höhe des Dreiecks, das die Basis bildet, dividiert durch zwei.
Jetzt, da wir den Grundflächenwert kennen, wird es möglich, das Volumen dieser Pyramide zu berechnen:
Beispiel 2:
Wenn die Basis der Pyramide a. ist gleichseitiges Dreieck, können wir die Formel für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks verwenden, um die Fläche der Basis zu berechnen.
Wir berechnen das Volumen einer Pyramide, deren Basis ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 cm und einer Höhe von 15 cm ist.
Zuerst berechnen wir die Fläche der Basis, da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, verwenden wir die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks.
Jetzt berechnen wir das Volumen:
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Pyramide mit sechseckiger Basis
In der sechseckigen Basispyramide verwenden wir zur Berechnung der Grundfläche die Sechseckflächenformel.
Beispiel:
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide in dem Wissen, dass ihre Basis ein regelmäßiges Sechseck ist:
Zuerst berechnen wir die Fläche des Sechsecks:
Jetzt berechnen wir das Volumen:
Beziehung zwischen Pyramidenvolumen und Prismenvolumen
gegeben Prisma und einer Pyramide mit der gleichen Basis wissen wir, dass die Prismenvolumen ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe, und das Volumen der Pyramide ist das Produkt aus Grundfläche und Höhe dividiert durch drei, wenn also die Grundfläche gleich ist, das Volumen der Pyramide es wird sein gleich 1/3 des Prismenvolumens.
gelöste Übungen
Frage 1 - Auf der Suche nach Innovationen im Verpackungsdesign entschied sich eine Kosmetikindustrie, Verpackungen in Form einer Pyramide mit quadratischer Basis für ihre neue Feuchtigkeitscreme herzustellen. Die Basis dieser Pyramide hat die Form eines Quadrats mit 6 cm Seitenlänge. Da diese Feuchtigkeitscreme 200 ml enthalten muss, muss die Höhe der Pyramide ungefähr betragen:
A) 15,2 cm²
B) 15,8 cm
C) 16,4 cm
D) 16,7 cm
E) 17,2 cm
Auflösung
Alternative D
Wir wissen, dass 200 ml gleich 200 cm³ sind, also haben wir V = 200. Wenn wir also die Grundfläche berechnen, die ein Quadrat ist, müssen wir:
DASB = l²
DASB = 6²
DASB = 36 cm²
Jetzt machen wir das Volumen gleich 200 cm³, also müssen wir:
Frage 2 - (Enem) Eine Fabrik produziert regelmäßig viereckige, pyramidenförmige Paraffinkerzen mit einer Höhe von 19 cm und einer Basiskante von 6 cm. Diese Kerzen bestehen aus 4 gleich hohen Blöcken – 3 Pyramidenstämmen mit parallelen Basen und 1 Pyramide an der Spitze – im Abstand von 1 cm, d. h dass die obere Basis jedes Blocks gleich der unteren Basis des überlagerten Blocks ist, wobei ein Eisenstab durch die Mitte jedes Blocks verläuft und sie verbindet, wie in der Abbildung gezeigt.
Wenn der Fabrikbesitzer beschließt, das Modell zu diversifizieren, entfernen Sie die Pyramide an der Spitze, die 1,5 cm² groß ist Kante an der Basis, aber unter Beibehaltung der gleichen Form, wie viel wird er für Paraffin ausgeben, um a. herzustellen? Kerze?
A) 156 cm³
B) 189 cm³
C) 192 cm³
D) 216 cm³
E) 540 cm³
Auflösung
Alternative B
Berechnen wir den Unterschied zwischen der größeren Pyramide (V) und der kleineren Pyramide (V2).
Wir wissen, dass der Abstand zwischen den Blöcken 1 cm beträgt, daher beträgt die Höhe der größten Pyramide 19 – 3 = 16 cm. Die größere Pyramide ist 6 cm von der Basis entfernt, da die Basis ein Quadrat ist, also AB = l² = 6² = 36.
Somit ist das Volumen der größeren Pyramide:
Um die Höhe der kleinsten Pyramide zu ermitteln, teilen wir die Gesamthöhe durch 4, also 16: 4 = 4 cm. Wenn wir das gleiche mit der Kante machen, erhalten wir 6: 4 = 1,5.
Somit beträgt die Grundfläche der kleineren Pyramide 1,5² = 2,25. Um das Volumen zu berechnen, müssen wir:
Jetzt finden wir den Unterschied zwischen den Volumen:
192 - 3 = 189 cm³
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-piramide.htm