Beim Studium komplexer Zahlen stoßen wir auf folgende Gleichheit: i2 = – 1.
Die Begründung für diese Gleichheit ist normalerweise mit der Lösung von Gleichungen 2. Grades mit negativen Quadratwurzeln verbunden, was ein Fehler ist. Der Ursprung des Ausdrucks ist2 = – 1 erscheint in der Definition von komplexen Zahlen, ein weiteres Problem, das ebenfalls viele Zweifel aufwirft. Lassen Sie uns den Grund für diese Gleichheit verstehen und wie sie entsteht.
Zuerst machen wir einige Definitionen.
1. Ein geordnetes Paar reeller Zahlen (x, y) heißt komplexe Zahl.
2. Komplexe Zahlen (x1ja1) und (x2ja2) sind genau dann gleich, wenn x1 = x2 Andy1 = ja2.
3. Addition und Multiplikation komplexer Zahlen sind definiert durch:
(x1ja1) + (x2ja2) = (x1 + x2ja1 + ja2)
(x1ja1)*(x2ja2) = (x1*x2 - ja1*y2, x1*y2 + ja1*x2)
Beispiel 1. Betrachten Sie z1 = (3, 4) und z2 = (2, 5), berechne z1 + z2 und z1*z2.
Lösung:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Mit der dritten Definition lässt sich leicht zeigen:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1, 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0)
Diese Gleichungen zeigen, dass sich komplexe Zahlen (x, y) bei Additions- und Multiplikationsoperationen wie reelle Zahlen verhalten. In diesem Zusammenhang können wir folgende Beziehung herstellen: (x, 0) = x.
Mit dieser Beziehung und dem Symbol i zur Darstellung der komplexen Zahl (0, 1) können wir jede komplexe Zahl (x, y) wie folgt schreiben:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → das ist der Normalformaufruf einer komplexen Zahl.
Somit wird die komplexe Zahl (3, 4) in Normalform zu 3 + 4i.
Beispiel 2. Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in Normalform.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Beachten Sie nun, dass wir i die komplexe Zahl (0, 1) nennen. Mal sehen, was passiert, wenn ich i2 mache.
Wir wissen, dass i = (0, 1) und dass i2 = ich*i. Folge dem:
ich2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Mit Definition 3 haben wir:
ich2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
Wie wir bereits gesehen haben, ist jede komplexe Zahl der Form (x, 0) = x. So,
ich2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
Wir sind bei der berühmten Gleichheit angekommen2 = – 1.
Von Marcelo Rigonatto
Spezialist für Statistik und mathematische Modellierung
Brasilianisches Schulteam
Komplexe Zahlen - Mathematik - Brasilien Schule
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm