Algebra es ist der Zweig der Mathematik, der die Arithmetik verallgemeinert. Das bedeutet, dass Begriffe und Operationen aus der Arithmetik (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division etc.) werden für alle Nummern, die zu bestimmten Sets gehören, getestet und ihre Wirksamkeit nachgewiesen proven numerisch.
Funktioniert die Operation „Addition“ zum Beispiel wirklich bei allen Zahlen, die zur Menge der natürlichen Zahlen gehören? Oder gibt es eine sehr große natürliche Zahl nahe der Unendlichkeit, die sich addiert anders verhält als andere? Die Antwort auf diese Frage gibt Algebra: Zuerst wird die Menge der natürlichen Zahlen definiert und die Operation addiert; dann ist bewiesen, dass die Additionsoperation für jede natürliche Zahl funktioniert.
UNS Algebra-Studien, Buchstaben werden verwendet, um Zahlen darzustellen. Diese Buchstaben können entweder unbekannte Zahlen darstellen oder eine beliebige Zahl, die zu einem Zahlensatz gehört. Wenn x beispielsweise eine gerade Zahl ist, kann x 2, 4, 6, 8, 10,... sein. Auf diese Weise ist x eine beliebige Zahl aus der Menge der geraden Zahlen und es ist klar, was für eine Zahl x ist: ein Vielfaches von 2.
Eigenschaften mathematischer Operationen
Da man weiß, dass jede Zahl, die zu einer Menge gehört, durch einen Buchstaben dargestellt werden kann, betrachten wir die Zahlen x, y und z als zur Menge der Zahlen gehörend. Real und die Operationen Zusatz und Multiplikation dargestellt durch „+“ bzw. „·“. Für x, y und z gelten also folgende Eigenschaften:
1 - Assoziativität
(x + y) + z = x + (y + z)
(x·y)·z = x·(y·z)
2 – Kommutativität
x + y = y + x
x·y = y·x
3 – Existenz eines neutralen Elements (1 für Multiplikation und 0 für Addition)
x + 0 = x
x·1 = x
4 – Existenzdes gegenüberliegenden (oder symmetrischen) Elements.
x + (–x) = 0
x· 1 = 1
x
5 – Verteilung (auch als Verteilungseigenschaft der Multiplikation über die Addition bezeichnet)
x·(y + z) = x·y + x·z
Diese fünf Eigenschaften gelten für alle reellen Zahlen x, y und z, da diese Buchstaben verwendet wurden, um jede reelle Zahl darzustellen. Sie gelten auch für Additions- und Multiplikationsoperationen.
algebraische Ausdrücke
In Mathematik, Ausdruck ist eine Folge von mathematischen Operationen, die mit einigen Zahlen durchgeführt werden. Beispiel: 2 + 3 – 7 ist ein numerischer Ausdruck. Wenn dieser Ausdruck unbekannte Zahlen (Unbekannte) beinhaltet, heißt er Algebraischer Ausdruck. Ein algebraischer Ausdruck, der nur einen Begriff hat, wird Monomium genannt. Irgendein Algebraischer Ausdruck das Ergebnis der Addition oder Subtraktion zwischen zwei Monomen wird als Polynom bezeichnet.
algebraische Ausdrücke, Monome und Polynome sind Beispiele für Elemente, die zur Algebra gehören, da sie aus Operationen mit unbekannten Zahlen bestehen. Denken Sie daran, dass eine unbekannte Zahl eine beliebige Zahl in einer Reihe von Zahlen darstellen kann.
Gleichungen
Gleichungen Sie sind algebraische Ausdrücke die eine Gleichberechtigung haben. So, Gleichung es ist ein Inhalt der Mathematik, der Zahlen durch eine Gleichheit mit Unbekannten in Beziehung setzt.
Die Präsenz des Unbekannten klassifiziert die Gleichung als algebraischer Ausdruck. Das Vorhandensein von Gleichheit ermöglicht es, die Lösung einer Gleichung zu finden, dh den numerischen Wert der Unbekannten.
Beispiele
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x – 9 = 0
Rollen
Die formale Definition der Funktion lautet wie folgt: Besetzung es ist eine Regel, die jedes Element einer Menge einem einzelnen Element einer zweiten Menge zuordnet.
Diese Regel wird mathematisch durch einen algebraischen Ausdruck dargestellt, der eine Gleichheit hat, aber das Unbekannte mit dem Unbekannten in Beziehung setzt. Dies ist der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Gleichung: Die Gleichung bezieht eine Unbekannte auf eine feste Zahl; beim Besetzung, das Unbekannte repräsentiert einen ganzen numerischen Satz. Aus diesem Grund werden Unbekannte innerhalb von Funktionen Variablen genannt, da sie jeden Wert innerhalb der Menge annehmen können, die sie repräsentieren.
Da es sich um algebraische Ausdrücke handelt, Besetzung es ist auch ein Inhalt der Algebra, da die Buchstaben eine beliebige Zahl darstellen, die zu einer beliebigen Zahl von Zahlen gehört.
Beispiele:
1) Betrachten Sie die Funktion y = x2, wobei x beliebig ist reelle Zahl.
In diesem Besetzung, die Variable x kann jeden Wert innerhalb der Menge der reellen Zahlen annehmen. Da die Regel, die die durch x repräsentierten Zahlen mit den durch y repräsentierten Zahlen verbindet, eine grundlegende mathematische Operation ist, repräsentiert y auch reelle Zahlen. Das einzige Detail dabei ist, dass y in dieser Funktion keine negative reelle Zahl darstellen kann, da y das Ergebnis einer Exponentenpotenz von 2 ist, die immer ein positives Ergebnis haben wird.
2) Betrachten Sie die Funktion y = 2x, wobei x a. ist natürliche Zahl.
In diesem Besetzung, kann die Variable x jeden Wert innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen annehmen. Diese Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen, daher sind die Werte, die y annehmen kann, natürliche Zahlen Vielfache von 2. Auf diese Weise ist y ein Repräsentant der Menge der geraden Zahlen.
Von der klassischen Algebra zur abstrakten Algebra
Die bisher aufgeführten Konzepte bilden die klassische Algebra. Dieser Teil der Algebra ist eher mit Mengen natürlicher, ganzzahliger, rationaler, irrationaler, reeller und komplexer Zahlen verbunden und wird sowohl in der Grundschule als auch in der Hochschulbildung studiert. Der andere Teil der Algebra, der als abstrakt bekannt ist, untersucht dieselben Strukturen, jedoch für beliebige Mengen.
Somit ist es für jede Menge mit beliebigen Elementen (Zahlen oder nicht) möglich, eine Operation "Addition" zu definieren, eine Operation "Multiplikation" und überprüfen Sie das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein der Eigenschaften dieser Operationen sowie die Gültigkeit von "Gleichungen", "Funktionen", "Polynomen" usw.
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-algebra.htm