Dreiecksmatrix: Typen, Determinante, Übungen

Eine Matrix ist dreieckig wenn Elemente oberhalb der Hauptdiagonale oder Elemente unterhalb der Hauptdiagonale alle null sind. Es gibt zwei mögliche Klassifikationen für diesen Matrixtyp: Die erste ist, wenn die Elemente über der Hauptdiagonalen null sind, wodurch eine untere Dreiecksmatrix erstellt wird; die zweite ist, wenn die Elemente unterhalb der Hauptdiagonale null sind, wodurch eine obere Dreiecksmatrix erstellt wird.

Um die Determinante einer Dreiecksmatrix nach der Sarrus-Regel zu berechnen, führen Sie einfach die Hauptdiagonalmultiplikation durch, da die anderen Multiplikationen alle gleich Null sind.

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Die Dreiecksmatrix ist ein Sonderfall der Matrix.

Dreieckige Matrixtypen

Um zu verstehen, was eine Dreiecksmatrix ist, ist es wichtig, sich an die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix zu erinnern, dh die Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten. Die Hauptdiagonale der Matrix sind die Terme a._ij, wobei i = j, das heißt, es sind die Terme, bei denen die Zeilennummer gleich der Spaltennummer ist.

Beispiel:

Die Begriffe auf der Hauptdiagonale sind rot markiert.

Wenn wir verstehen, was eine quadratische Matrix ist und was ihre Hauptdiagonale ist, lassen Sie uns wissen, was eine dreieckige Matrix und ihre Klassifikationen sind. Es gibt zwei mögliche Klassifikationen für die Dreiecksmatrix: Dasuntere Dreiecksmatrix und obere Dreiecksmatrix.

• Untere Dreiecksmatrix: tritt auf, wenn alle Terme oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind und die Terme unterhalb der Hauptdiagonale sind reale Nummern.

Numerisches Beispiel:

• Obere Dreiecksmatrix: tritt auf, wenn alle Terme unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind und die Terme oberhalb der Hauptdiagonale reelle Zahlen sind.

Numerisches Beispiel:

diagonale Matrix

Die Diagonalmatrix ist a Sonderfall der Dreiecksmatrix. Darin sind die einzigen Terme, die von Null verschieden sind, diejenigen, die in der Hauptdiagonale enthalten sind. Die Terme oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonale sind alle gleich Null.

Numerische Beispiele für Diagonalmatrix:

Determinante einer Dreiecksmatrix

Gegeben eine Dreiecksmatrix, bei der Berechnung der Determinante dieser Matrix durch Sarrus' Regel, sehen Sie, dass alle Multiplikationen gleich Null sind, mit Ausnahme der Multiplikation des Termes der Hauptdiagonale.

det (A) = a₁₁ · ein₂₂· ein₃₃ + die₁₂ · ein₂₃ · 0 + die₁₃ · 0 · 0 - ( Das₁₃ ·Das₂₃ ·0 + die₁₁ · ein₂₃ · 0 + die₁₂ · 0· ein₃₃)

Beachten Sie, dass in allen Termen außer dem ersten Null einer der Faktoren ist und alle Multiplikation durch Null ist gleich Null, also:

det (A) = a₁₁ · ein₂₂· ein₃₃

Beachten Sie, dass dies das Produkt zwischen den Termen der Hauptdiagonale ist.

Unabhängig von der Anzahl der Zeilen und Spalten einer Dreiecksmatrix ist es Determinante ist immer gleich dem Produkt der Terme der Hauptdiagonalen.

Auch sehen: Determinante — auf quadratische Matrizen angewendetes Merkmal

Eigenschaften der Dreiecksmatrix

Die Dreiecksmatrix hat einige spezifische Eigenschaften.

• 1. Eigenschaft: die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Terme der Hauptdiagonalen.
• 2. Eigenschaft: das Produkt zwischen zwei Dreiecksmatrizen ist eine Dreiecksmatrix.
• 3. Eigenschaft: Wenn einer der Terme der Hauptdiagonale der Dreiecksmatrix gleich Null ist, ist seine Determinante gleich Null und folglich nicht invertierbar.
• 4. Eigenschaft: die inverse Matrix einer Dreiecksmatrix ist auch eine Dreiecksmatrix.
• 5. Eigenschaft: die Summe zweier oberer Dreiecksmatrizen ist eine obere Dreiecksmatrix; in ähnlicher Weise ist die Summe von zwei unteren Dreiecksmatrizen eine untere Dreiecksmatrix.

gelöste Übungen

1) Bei gegebener Matrix A ist der Wert der Determinante von A:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Auflösung

Alternative d.

Diese Matrix ist unteres Dreieck, daher ist ihre Determinante die Multiplikation der Terme auf der Hauptdiagonalen.

det (A) = 1·3·3·1,5 = 45

2) Beurteilen Sie die folgenden Aussagen.

I → Jede quadratische Matrix ist dreieckig.

II → Die Summe einer oberen Dreiecksmatrix mit einer unteren Dreiecksmatrix ist immer eine Dreiecksmatrix.

III → Jede diagonale Identitätsmatrix ist eine Dreiecksmatrix.

Die richtige Reihenfolge ist:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Auflösung

Alternative d.

I → Falsch, denn jede Dreiecksmatrix ist quadratisch, aber nicht jede quadratische Matrix ist dreieckig.

II → Falsch, da die Summe zwischen oberer und unterer Dreiecksmatrix nicht immer eine Dreiecksmatrix ergibt.

III → Richtig, da die von der Diagonale abweichenden Terme gleich Null sind.

Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm