Internt produkt mellem to vektorer

O prikprodukt mellem to vektorer er et reelt tal, der relaterer størrelsen af ​​disse vektorer, det vil sige deres længde og vinklen mellem dem. For at beregne det er det derfor nødvendigt at kende deres længder og den vinkel, de danner.

Ved hjælp af planet som basis angiver en vektor en placering, en intensitet, en retning og en retning. Derfor bruges det i studierne af mekanik (fysik) som en repræsentant for en kraft, der påføres et objekt.

Den sædvanlige repræsentation af vektoren er en pil, der slutter ved et punkt. Koordinaterne for dette punkt siges at være koordinaterne for vektoren startende fra punkt O (0,0). Vi skriver v = (a, b) for at repræsentere det. Således tegnes vektoren v = (1,2) som følger:

Vektoreksempel startende fra oprindelsen

For at beregne længden af ​​denne vektor skal du overveje den rigtige trekant dannet af den og dens projektion på x-aksen (eller y-aksen) som vist i følgende figur:

Længde af vektor v

Længden af ​​en vektor v kaldes v vektor norm eller vektor modul v

og er repræsenteret af | v |. Bemærk, at normen for vektoren v = (a, b) er nøjagtigt mål for hypotenusen i trekanten repræsenteret i figuren ovenfor. For at beregne dette mål bruger vi Pythagoras sætning:

| v |² = den² + b²

| v | = √ (a² + b² )

To vektor prik produkt

Givet to vektorer u og v er det indre produkt mellem dem repræsenteret af og er defineret som:

= | u || v | · cosθ

Dette er en slags multiplikation mellem to vektorer, men det kaldes ikke et produkt, da det ikke er en fælles multiplikation, da det involverer den vinkel, der dannes af disse to vektorer.

Vinkel mellem to vektorer

Det første resultat, der stammer fra ovenstående definition, er vinklen mellem to vektorer. Med de reelle tal "prikprodukt", "u vektornorm" og "v vektornorm" er det muligt at beregne vinklen mellem vektorerne u og v. For at gøre dette skal du blot udføre beregningerne:

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

Ved at dividere det indre produkt med normerne for vektorerne u og v finder vi det reelle tal, der henviser til cosinus mellem disse to vektorer og derfor vinklen mellem dem.

Bemærk, at hvis vinklen mellem to vektorer er lige, er cosθ lig med nul. Derfor vil ovenstående produkt have følgende resultat:

= 0

Ud fra dette kan det konkluderes, at givet to vektorer u og v, vil de være ortogonale, hvis = 0.

Indre produkt beregnet ud fra vektorkoordinater

I betragtning af de to vektorer u = (a, b) og v = (c, d) gives punktproduktet mellem u og v ved:

= = a · c + b · d

Interne produktegenskaber

I betragtning af vektorerne u, v og w og det reelle tal α, bemærk:

jeg) =

Dette betyder, at det indre produkt af vektorer er "kommutativt".

ii) = +

Denne egenskab kan sammenlignes med fordelingen af ​​multiplikation i forhold til tilføjelse.

iii) = = α

Beregning af det indre produkt mellem u og v ganget med det reelle tal α er det samme som beregning af det indre produkt mellem αv og u eller mellem v og αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Det indre produkt af v med v er kun nul, hvis v er nulvektoren.

v) ≥ 0 for alle v.

Det indre produkt af v med v vil altid være større end eller lig med nul.

Af Luiz Paulo Moreira
Uddannet i matematik

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm