En ligning er en matematisk sætning, der har en lighed og mindst en ukendt, det vil sige når vi har inddragelse af en algebraisk udtryk og en lighed. Studiet af ligninger kræver forudgående viden, såsom studiet af numeriske udtryk. Formålet med en ligning er find den ukendte værdi der forvandler lighed til en identitet, det vil sige en sand lighed.
Læs også:Operationer med brøker - hvordan beregnes det?
Grundlæggende begreber til ligningsstudie
En ligning er en matematisk sætning, der har en ukendti det mindste og en lighed, og vi kan rangordne det efter antallet af ukendte. Se nogle eksempler:
a) 5t - 9 = 16
Ligningen har en ukendt repræsenteret af brevet t.
b) 5x + 6y = 1
Ligningen har to ukendte, repræsenteret af bogstaverne x og y.
c) t4 - 8z = x
Ligningen har tre ukendte, repræsenteret af bogstaverne Okay,z og x.
Uanset ligningen skal vi tage højde for din univers sæt,sammensat af alle de mulige værdier, som vi kan tildele det ukendte, dette sæt er repræsenteret af brevet U.
Eksempel 1
Overvej ligningen x + 1 = 0 og dens mulige løsning x = –1. Overvej nu at universets sæt af ligningen er
naturlig.Bemærk, at den formodede løsning ikke tilhører universetsættet, da dets elementer er alle de mulige værdier, som det ukendte kan tage, så x = –1 er ikke løsningen på ligningen.
Jo større antallet af ukendte, jo sværere er det selvfølgelig at bestemme din løsning. DET opløsning eller kilde af en ligning er sættet med alle de værdier, der, når de tildeles det ukendte, gør ligestillingen sand.
Eksempel 2
Overvej ligningen med en ukendt 5x - 9 = 16, kontroller at x = 5 er løsningen eller roden til ligningen.
Så det er muligt at sige det x = 5 er ligningens løsning, skal vi erstatte den værdi i udtrykket, hvis vi finder en ægte ligestilling, vil tallet være den testede løsning.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Se, at den ligestilling, der findes, er sand, så vi har en identitet, og tallet 5 er en løsning. Så vi kan sige, at løsningssættet er givet ved:
S = {5}
Eksempel 3
Overvej ligning t2 = 4 og kontroller, om t = 2 eller t = –2 er løsninger på ligningen.
Analogt skal vi erstatte værdien af t i ligningen, men bemærk dog, at vi har to værdier for det ukendte, og derfor skal vi udføre verifikationen i to trin.
Trin 1 - For t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Trin 2 - For t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Se for t = 2 og t = - 2 vi finder en identitet, så disse to værdier er løsninger på ligningen. Således kan vi sige, at løsningssættet er:
S = {2, –2}
Ligningstyper
Vi kan også klassificere en ligning med hensyn til den position, som de ukendte indtager. Se hovedtyperne:
Polynomiske ligninger
På polynomiske ligninger er karakteriseret ved at have et polynom lig med nul. Se nogle eksempler:
Det) 6t3+ 5t2–5t = 0
Tallene6, 5 og –5 er ligningens koefficienter.
B) 9x – 9= 0
Tallene 9 og – 9 er ligningens koefficienter.
c) y2– y – 1 = 0
Tallene 1, – 1 og – 1 er ligningens koefficienter.
Ligningsgrader
Polynomiske ligninger kan klassificeres efter deres grad. Samt polynomer, er graden af en polynomligning givet af højeste effekt, der har en ikke-nul-koefficient.
Fra de foregående eksempler a, b og c har vi, at ligningens grader er:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Polynomligning af tredje grad
b) 9x - 9 = 0 → Polynomligning af første grad
ç) y2 - y - 1 = 0 → Polynomial ligning af Gymnasium
Læs også: kvadratisk ligningu: hvordan man beregner, typer, eksempler
rationelle ligninger
Rationelle ligninger er kendetegnet ved at have deres ukendte i nævneren af en brøkdel. Se nogle eksempler:
Læs også: Hvad er rationelle tal?
irrationelle ligninger
På irrationelle ligninger er kendetegnet ved at have deres ukendte inde i en n. rod, det vil sige inde i en radikal, der har indeks n. Se nogle eksempler:
eksponentielle ligninger
På eksponentielle ligninger har ukendte placeret i eksponenten af en styrke. Se nogle eksempler:
logaritmisk ligning
På logaritmiske ligninger er kendetegnet ved at have en eller flere ukendte i en del af logaritme. Vi ser, at ligningen falder i nogle af de tidligere tilfælde, når definitionen af logaritmen anvendes. Se nogle eksempler:
Se også: Første grads ligning med en ukendt
Hvordan løses en ligning?
For at løse en ligning skal vi studere metoder, der anvendes i hver type, dvs. for hver type ligning er der en anden metode til at bestemme de mulige rødder. Men alle disse metoder er stammer fra ækvivalensprincippet, med det er det muligt at løse hovedtyperne af ligninger.
Ækvivalensprincip
Andet ækvivalensprincip, vi kan frit operere på den ene side af en lighed, så længe vi gør det samme på den anden side af lighed. For at forbedre forståelsen navngiver vi disse sider.
Derfor siger ækvivalensprincippet, at det er muligt kør på det første lem frit så længe som samme operation udføres på det andet medlem.
For at kontrollere ækvivalensprincippet skal du overveje følgende ligestilling:
5 = 5
Lad os gå nu at tilføje på begge sider tallet 7, og bemærk at ligestillingen stadig vil være sand:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Lad os gå nu trække fra 10 på begge sider af ligestillingen, bemærk igen, at ligestillingen stadig vil være sand:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
se, at vi kan formere sig eller del og hæv til en styrke eller endda udtrække en kilde, så længe det sker på det første og andet medlem, vil lighed altid være sandt.
For at løse en ligning skal vi bruge dette princip sammen med viden om de nævnte operationer. For at lette udviklingen af ligningerne, lad os udelade operationen udført på det første medlem, svarende til at sige, at vi videregiver nummeret til det andet medlem og bytter tegnet mod det modsatte.
Ideen til at bestemme løsningen på en ligning er altid isoler det ukendte ved hjælp af ækvivalensprincippetSe:
Eksempel 4
Brug ækvivalensprincippet til at bestemme løsningssættet for ligningen 2x - 4 = 8 vel vidende at universetsættet er givet ved: U = ℝ.
2x - 4 = 8
For at løse en polynomligning af første grad skal vi lade det ukendte i det første medlem være isoleret. Til dette vil vi tage tallet –4 fra det første medlem og tilføje 4 til begge sider, da –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Bemærk, at udførelse af denne proces svarer til blot at sende nummeret 4 med det modsatte tegn. Så for at isolere det ukendte x, lad os sende tallet 2 til det andet medlem, da det multiplicerer x. (Husk: den omvendte funktion af multiplikation er division). Det ville være det samme som at dele begge sider med 2.
Derfor er løsningssættet givet ved:
S = {6}
Eksempel 5
Løs ligning 2x + 5 = 128 vel vidende at universets sæt er givet af U = ℝ.
For at løse den eksponentielle ligning, lad os først bruge følgende potentiering ejendom:
Detm + n = denm · Aingen
Vi vil også bruge det faktum, at 22 = 4 og 25 = 32.
2x + 5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Bemærk, at det er muligt at dele begge sider med 32, dvs. overføre nummeret 32 til det andet medlem ved at dividere.
Så vi skal:
2x = 4
2x = 22
Den eneste værdi af x, der tilfredsstiller lighed, er tallet 2, så x = 2 og løsningssættet er givet ved:
S = {2}
Øvelser løst
Spørgsmål 1 - Overvej det indstillede univers U = ℕ og bestem løsningen af følgende irrationelle ligning:
Løsning
For at løse denne ligning skal vi beskæftige os med at fjerne roden til det første medlem. Bemærk, at det til dette er nødvendigt at hæve det første medlem til det samme indeks som roden, det vil sige til terningen. Efter ækvivalensprincippet skal vi også rejse det andet medlem af lighed.
Bemærk, at vi nu skal løse en polynomligning af anden grad. Lad os give tallet 11 til det andet medlem (trække 11 på begge sider af ligestillingen) for at isolere det ukendte x.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Nu for at bestemme værdien af x, se at der er to værdier, der tilfredsstiller lighed, x ’= 4 eller x’ ’= –4, enkelt gang:
42 = 16
og
(–4)2 = 16
Bemærk dog i udsagnet om spørgsmålet, at det givne universsæt er sættet med naturlige tal, og tallet –4 hører ikke til det, og løsningssættet er således givet ved:
S = {4}
spørgsmål 2 - Overvej polynomligningen x2 + 1 = 0 vel vidende at universets sæt er givet af U = ℝ.
Løsning
For ækvivalensprincippet skal du trække 1 fra begge medlemmer.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Bemærk, at lighed ikke har nogen løsning, da universets sæt er de reelle tal, det vil sige alle værdier, som det ukendte kan antage er reelle, og der er ikke noget reelt tal, der, når det er kvadratisk, er negativ.
12 = 1
og
(–1)2 = 1
Derfor har ligningen ingen løsning i sættet af realer, og derfor kan vi sige, at løsningssættet er tomt.
S = {}
af Robson Luiz
Matematiklærer