DET omkreds er en flad geometrisk figur dannet af sammenslutning af lige store punkter, det vil sige, de har samme afstand fra et fast punkt kaldet centrum. Undersøgelsen af omkredsen er også til stede i analytisk geometri, hvor det er muligt at udlede en ligning, der repræsenterer den.
Selvom cirkel og omkreds er flade geometriske figurer med nogle fælles elementer, hvilket normalt fører til tvivl, disse figurer udgør vigtige forskelle, især med hensyn til dimensionalitet.
Læs også: Afstand mellem to punkter - et vigtigt begreb analytisk geometri
elementer i cirklen
Bemærk omkredsen:
Pointen Ç det hedder centrum af cirklen, og bemærk, at punkt A og B hører til det. Det segment, der forbinder enderne af cirklen, der passerer gennem midten, kaldes diameter. På den tidligere omkreds skal vi diameteren er AB-segmentet.
Til del diameteren i to, lad os få omkredsen, dvs. radius (r) af en cirkel det er segmentet, der slutter sig til centrum og slutningen. I dette tilfælde er radius CB-segmentet. Vi kan etablere et matematisk forhold mellem disse to elementer, da diameteren er dobbelt så stor som radius.
d = 2 · r
Eksempel
Bestem radius for en cirkel, der har en diameter på 40 cm.
Vi ved, at diameteren er dobbelt så stor som radius:
omkreds længde
Overvej en cirkel, der har en radius, der måler r. O længde eller omkreds af omkredsen er givet af produktet af çkonstant pi (π) med dobbelt så stor radius.
Når vi beregner længden eller omkredsen af en cirkel, bestemmer vi størrelsen på linjen grøn i den foregående tegning, og for at gøre dette skal du bare erstatte radiusværdien i den formel, der fortsætter til figur.
Eksempel
Bestem længden af omkredsen med en radius på 5 cm.
Radius af cirklen er lig med 5 cm, så for at bestemme længden af cirklen skal vi erstatte denne værdi i formlen.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Se også: Konstruktion af indskrevne polygoner
omkreds område
Overvej en cirkel med radius r. For at beregne dit område skal vi gang kvadratet af radiusværdien med π.
Når vi beregner cirkelarealet, bestemmer vi overflademålet, det vil sige hele regionen inde i cirklen.
- Eksempel
Bestem arealet af en cirkel, der har en radius lig med 4 cm.
Vi har, at omkredsen er lig med 4 cm, så vi kan erstatte dette mål i formlen for området. Se:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
H = 50,24 cm2
Omkrets reduceret ligning
Vi ved, at en cirkel kan bygges af samling af punkter, der har samme afstand fra et fast punkt kaldet oprindelse eller centrum. Så overvej et fast punkt i Cartesian fly O (a, b). Sættet af punkter - repræsenteret af P (x, y) - der er den samme afstand r fra dette faste punkt, vil danne en cirkel med radius r.
Bemærk, at punkterne i formen P (x, y) alle har samme afstand fra punkt O (a, b), dvs. afstanden mellem punkterne O og P er lig med cirkelens radius, dermed:
På reduceret ligning, bemærk at tallene Det og B er koordinaterne for centrum af cirklen og det r er målingen for radius.
- Eksempel
Bestem koordinaterne for centrum og mål for radius af cirklen, der har en ligning:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Sammenligning af denne ligning med den reducerede ligning har vi:
(x - Det)2 + (y - B)2 = r2
(x - 2)2 + (y -6)2 = 36
Se at a = 2, b = 6 og r2 = 36. Den eneste ligning, der skal løses, er:
r2 = 36
r = 6
Derfor er centrumets koordinat: O (2, 6) og radiuslængden er 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
På samme måde har vi:
(x - Det)2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Mens radiusværdien er givet af:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(x - Det)2 + (y - B)2 = r2
x2 + y2 = 1
Bemærk, at x2 = (x + 0)2 og y2 = (y + 0)2 . Så vi skal:
(x - Det)2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Derfor er koordinaten for centret O (0, 0), og radiusen er lig med 1.
Også adgang: Hvordan finder man centrum for en cirkel?
generel ligning af cirklen
For at bestemme cirkelens generelle ligning skal vi udvikle den reducerede ligning hende. Overvej således en cirkel, der har et centrum ved koordinaterne O (a, b) og radius r.
Oprindeligt vil vi udvikle termerne i kvadrat ved hjælp af bemærkelsesværdige produkter; så sender vi alle numre til det første medlem; og endelig vil vi slutte os til udtrykkene med den samme bogstavelige koefficient, det vil sige dem med de samme bogstaver. Se:
Eksempel
Bestem koordinaterne for centrum og middelradius for cirklen, der har en ligning:
a) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9-49 = 0
For at bestemme radius og koordinater for den cirkel, der har denne ligning, skal vi sammenligne den med den generelle ligning. Se:
x2 + y2 – 2. pladsx - 2by + Det2 + B2 –r2 = 0
x2 + y2 – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Fra sammenligningerne i grønt skal vi:
2. = 4
a = 2
eller
Det2 = 4
a = 2
Fra sammenligningerne i rødt har vi det:
2b = 6
b = 3
eller
B2 = 9
b = 3
Således kan vi sige, at centret har koordinat O (2, 3). Nu, når vi sammenligner værdien af r, har vi:
r2 = 49
r = 7
Derfor har cirkelens radius en længde lig med 7.
b) x2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
Lad os på samme måde sammenligne ligningerne:
x2 + y2 – 2. pladsx - 2by + Det2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 –10x + 14y + 10 = 0
2. = 10
a = 5
Bestemmelse af værdien af b:
–2b = 14
b = - 7
Bemærk nu, at:
Det2 + b2 - r2 = 10
Da vi kender værdierne for a og b, kan vi erstatte dem i formlen. Se:
Det2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Derfor er koordinaterne for centrum O (5, –7), og radiusen har en længde lig med 8.
Forskelle mellem omkreds og cirkel
Forskellen mellem en cirkel og en cirkel vedrører antal dimensioner af hvert element. Mens cirklen har en dimension, har cirklen to.
En cirkel er et område i planet dannet af punkter, der er lige langt fra et fast punkt kaldet oprindelsen. Cirklen består af alle regioner i cirklen. Se forskellen i billeder:
Se også:omkredslængde og cirkelareal
løste øvelser
Spørgsmål 1 - En omkreds har en omkreds lig med 628 cm. Bestem diameteren på denne cirkel (vedtag π = 3,14).
Løsning
Da omkredsen er lig med 628 cm, kan vi erstatte denne værdi i omkredslængdeudtrykket.
spørgsmål 2 - To cirkler er koncentriske, hvis de har det samme center. Ved at vide dette skal du bestemme området for den tomme figur.
Løsning
Bemærk, at for at bestemme områdets område i hvidt skal vi bestemme arealet for den større cirkel og derefter for den mindre cirkel i blåt. Bemærk også, at hvis vi fjerner den blå cirkel, er kun den region, vi ønsker, tilbage, så vi skal trække disse områder. Se:
DETSTØRRE = r2
DETSTØRRE = (3,14) · (9)2
DETSTØRRE = (3,14) · 81
DETSTØRRE = 254,34 cm2
Lad os nu beregne arealet af den blå cirkel:
DETMindre = r2
DETMindre = (3,14) · (5)2
DETMindre = (3,14) · 25
DETMindre = 78,5 cm2
Således er det tomme område givet af forskellen mellem det større område og det mindre område.
DETHVID = 254,34 – 78,5
DETHVID = 175,84 cm2
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm