DET kombinatorisk analyse er et fagområde i matematik, der er knyttet til tælleregler. I begyndelsen af det 18. århundrede forårsagede undersøgelsen af spil, der involverede terninger og kort, optællingsteorier en stor udvikling.
Arbejdet med kombinatorik muliggør realisering af stadig mere nøjagtige optællinger.Det grundlæggende princip for tælling (PFC), det faktuelle og grupperingstyper er eksempler på begreber undersøgt i kombinatorisk analyse, som ud over at give større præcision hjælper ingenudvikling af andre matematiske områder, såsom Det sandsynlighed og O Newtons binomial.
Læs også: arrangement eller çkombination?
Hvad er kombinatorisk analyse til?
Kombinationsanalyse er forbundet med tælleprocessen, dvs. studiet af dette område af matematik giver os mulighed for at udvikle værktøjer, der hjælper os med at udføre tæller mere effektivt. Lad os se på et typisk tælleproblem, se:
Eksempel 1
Overvej tre byer A, B og C forbundet med motorveje R1, R2, R3, R4 og R5. Bestem, hvor mange måder vi kan komme fra by A til by C via by B.
Bemærk, at vi er nødt til at forlade by A og gå til by B, og kun derefter kan vi rejse til by C, så lad os analysere alle muligheder at gennemføre begivenheden efter motorveje.
1. vej: R1 → R3
2. vej: R1 → R4
3. vej: R1 → R5
4. vej: R2 → R3
5. vej: R2 → R4
6. vej: R2 → R5
Så vi har seks forskellige måder at komme fra by A til by C via by B. Bemærk dog, at det foreslåede problem er relativt simpelt, og at den udførte analyse var lidt besværlig. Så nu skal vi studere mere sofistikerede værktøjer, der gør det muligt at løse problemer med meget mindre arbejde.
Grundlæggende tælleprincip (PFC)
Overvej en begivenhed E, der kan udføres i n uafhængige og fortløbende trin. Overvej nu, at antallet af muligheder for at udføre det første trin er lig med P1, forestil dig også, at antallet af muligheder for at udføre anden fase er P.2, og så videre, indtil vi når den sidste fase, som har Pingen muligheder, der skal udføres.
Det grundlæggende princip om optælling (PFC) siger, at samlede muligheder afholdelse af begivenheden E gives af:
P1 · P2 ·… · Singen
Således gives summen af produktet af mulighederne for hvert af de trin, der udgør begivenhed E. Bemærk, at det for at bestemme de samlede muligheder for at afholde begivenhed E er nødvendigt at kende de samlede muligheder for hvert trin.
Eksempel 2
Lad os gentage eksempel 1 ved hjælp af det grundlæggende princip om optælling.
Overvej billedet i eksempel 1.
Bemærk, at begivenheden kan køres i to faser, den første går fra by A til by B, og den anden går fra by B til by C. For at udføre det første trin har vi to muligheder (veje R1 og R2), og for at udføre anden fase har vi tre muligheder (R3, R4 og R5).
1. trin → to muligheder
2. etape → tre muligheder
Efter det grundlæggende princip om tælling skal vi formere sig de samlede muligheder for hvert trin.
2 · 3
6
Derfor har vi i alt seks muligheder for at gå fra by A til by C via by B.
Eksempel 3
Hvor mange måder kan de tre olympiske medaljer uddeles i en konkurrence om mountainbike med fem konkurrenter?
Organisering af distribution af medaljer er en begivenhed, der kan gennemføres i tre faser. Det første trin er at analysere de samlede muligheder for, hvem der får guldmedaljen, det vil sige fem muligheder.
Det andet trin er at analysere mulighederne for, hvem der får sølvmedaljen, dvs. fire, da det første sted ikke indtaster dette valg. Det tredje trin er at analysere de samlede muligheder for, hvem der får bronzemedaljen, dvs. tre, da de to første allerede er valgt.
1. trin → fem muligheder
2. etape → fire muligheder
3. etape → tre muligheder
Så ved det grundlæggende princip om optælling har vi:
5 · 4 · 3
60 muligheder
Se også: Princippet om additiv tælling - forening af et eller flere sæt
Faktor
O Faktor er en måde at nedbryde et naturligt tal. For at beregne et talfaktor skal du bare gange det med alle dets forgængere op til tallet 1. Faktoriet er repræsenteret ved udråbstegnet - “!”.
Se nogle eksempler på, hvordan man beregner faktoren for nogle tal.
Det) 2! (læser: to faktorielle)
Til beregningen skal du blot multiplicere antallet, der ledsager fabriksnummeret, med alle dets forgængere op til tallet 1, således:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formelt kan vi skrive fakultetet som følger:
Overvej et naturligt tal n> 2. Faktoriet for n er angivet med n! og er givet ved at multiplicere n med alle dens positive heltal forgængere.
ingen! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Bemærk følgende fakta
4! og 5!
Udfør nu udviklingen af begge:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Bemærk, at i udviklingen af 5! vises udviklingen af 4!. Så vi kan skrive 5! dermed:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Eksempel 4
Beregn faktorsekhyle:
Se at de 15! blev udviklet indtil 13!. Bemærk også, at elementerne multipliceres i tælleren af fraktionen, så vi kan "klippe" 13!, hvilket kun resulterer i 15 · 14.
Observation:0! = 1
Grupperingstyper
Nogle tælleproblemer er mere komplekse og lettere løst med nye værktøjer. Disse værktøjer kaldes gruppering, fordi de grupperer elementer på forskellige måder, hvilket gør optællingsprocessen lettere. Disse grupperinger er: simpelt arrangement, permutation og enkel kombination.
simpelt arrangement
Overvej et sæt med n forskellige elementer. lad os kalde det arrangement fra n elementerne taget fra p til p, enhver rækkefølge, der er ordnet efter p, og de forskellige elementer, der er valgt blandt elementerne.
Antallet af delmængder dannet af p-elementer vil således være arrangementet af n-elementer taget fra p til p. Formlen, der giver os mulighed for at beregne antallet af arrangementer er givet ved:
Eksempel 5
Beregn værdien af A.4,2 + A5,2.
For at beregne udtrykets værdi, lad os bestemme hver af arrays og derefter tilføje disse værdier sammen. For at bestemme værdien for hver matrix skal vi erstatte værdierne i formlen.
Bemærk, at n = 4 og p = 2, begge er blevet substitueret i formlen. Nu skal vi beregne værdien af arrayet med fem elementer taget to efter to.
Så vi er nødt til at:
DET4,2 + A5,2
12 + 20
32
Eksempel 6
Hvor mange forskellige firecifrede naturlige tal kan dannes ved hjælp af tallene 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9?
I dette problem kan vi bruge det enkle arrangement, siden 2435 ≠ 4235. Vi vil se, at rækkefølgen af elementerne i nogle tilfælde ikke adskiller dem, og derfor kan vi ikke bruge arrangementet.
Da vi ønsker at bestemme det samlede antal tal, der kan dannes, skal du bemærke, at det samlede antal elementer er lig med otte, og vi vil gruppere dem fire efter fire, så:
enkel permutation
Overvej et sæt med n elementer. lad os kalde det enkel permutation af n elementer hvert arrangement af n elementer taget n til n. Så vi skal:
For at der ikke er nogen forveksling mellem begreberne, lad os betegne den enkle permutation af n-elementer af Pingen. Så vi skal:
Pingen = n!
Eksempel 7
Beregn P7 og P3.
For at beregne disse permutationer skal vi erstatte værdierne i formlen. Se:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Eksempel 8
Bestem, hvor mange anagrammer der kan være i ordet Brasilien.
Vi forstår som anagram alle mulige transponeringer af bogstaverne i ordet, for eksempel "Lisarb" er en anagram af ordet Brasilien. For at bestemme antallet af anagrammer skal vi beregne permutationen af bogstaverne i ordet, så vi bliver nødt til at:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Derfor har ordet Brasilien 720 anagrammer.
Også adgang: Permutation med gentagne elementer
enkel kombination
Overvej et sæt A med n forskellige elementer. lad os kalde det kombination af n-elementerne taget p til p enhver delmængde af A dannet af p-elementer. Formlen til beregning af kombinationen er givet ved:
Eksempel 9
Beregn kombinationen af 10 elementer taget fra fire til fire.
Eksempel 10
Hvor mange firkanter tydelig kan vi danne med hjørner i punkterne A, B, C, D, E og F?
Bemærk, at ABCDs firkant er den samme som CDBAs firkant i denne sammenhæng, så vi skal bruge kombinationen og ikke arrays. Vi har i alt seks point, og vi vil kombinere dem fire efter fire på denne måde:
Derfor kan vi danne 15 forskellige firkanter.
Kombinatorisk analyse og sandsynlighed
Undersøgelsen af sandsynligheden er tæt knyttet til studiet af kombinatorisk analyse.. I nogle sandsynlighedsproblemer er det nødvendigt at bestemme prøveområdet, som består af et sæt dannet af alle de mulige resultater af en given begivenhed.
I nogle tilfælde skrives prøveområdet E meget direkte, som i en flip mønt, hvor de mulige resultater er hoveder eller haler og betegnes som følger:
E = {hoveder, haler}
Forestil dig nu følgende situation: en matrix smides tre gange i træk, og vi er interesserede i at bestemme prøvepladsen til dette eksperiment. Bemærk, at nedskrivning af alle muligheder ikke længere er en simpel opgave, vi skal bruge det grundlæggende princip for optælling (PFC). Begivenheden kan udføres i tre faser, i hver af dem har vi seks muligheder, da en matrice har seks ansigter, som denne:
1. etape → seks muligheder
2. etape → seks muligheder
3. etape → seks muligheder
Af PFC har vi, at de samlede muligheder er:
6 · 6 · 6
216
Så vi kan sige, at prøveområdet for denne begivenhed er 216.
Se, at det for undersøgelsen af sandsynligheden er det der kræves en grundlæggende viden om kombinatorisk analyse., fordi det uden at bestemme prøveområdet for et eksperiment er umuligt at løse langt størstedelen af sandsynlighedsøvelser. For flere detaljer om dette felt i matematik, læs teksten:Sandsynlighed.
løste øvelser
Spørgsmål 1 - Bestem antallet af anagrammer for ordet slot. Bestem derefter antallet af anagrammer, der starter med bogstavet c.
Løsning
For at bestemme antallet af anagrammer skal vi beregne permutationen af antallet af bogstaver på denne måde:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Ordet har 5040 anagrammer. For at bestemme antallet af anagrammer, der starter med bogstavet c, skal vi rette brevet og beregne de andres anagrammer, se:
Ç__ __ __ __ __ __
Når vi retter bogstavet c, skal du være opmærksom på, at der er seks felter tilbage til beregning af permutationen, som denne:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Så vi har 720 anagrammer af ordet slot, der starter med bogstavet c.
spørgsmål 2 - I et klasseværelse er der fem mænd og syv kvinder. Hvor mange grupper på tre mænd og fire kvinder kan dannes?
Løsning
Først skal du se, at den rækkefølge, som vi vælger mennesker, ikke betyder noget, for eksempel gruppen dannet af João, Marcos og José er den samme gruppe dannet af Marcos, João og José, derfor skal vi bruge kombinationen til beregning.
Lad os beregne separat antallet af grupper, der kan dannes af mænd og kvinder, og i Lad os så multiplicere disse resultater, fordi hver gruppe mænd kan blande sig med hver gruppe af Kvinder.
Mænd
I alt → 5
Mængde i gruppe → 3
Kvinder
I alt → 7
Mængde i gruppe → 4
Derfor er det samlede antal grupper, der kan dannes af tre mænd og fire kvinder:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm