O Venn-diagram, også kendt som et Venn-Euler-diagram, er en måde at tegne et sæt på, til dette bruger vi en lukket linje, der ikke har selvkrydsning, og vi repræsenterer elementerne i sættet inde i denne linje. Idéen med diagrammet er at lette forståelsen i grundlæggende sætoperationer, såsom: inklusion og tilhørsforhold, forening og kryds, forskel og supplerende sæt.
Læs også: Handlinger mellem heltal: kend egenskaberne
Venn-diagram repræsentationer
Som vist består Venn-diagrammet af en lukket (ikke sammenflettet) linje, hvor vi "placerer" elementerne i det pågældende sæt, så vi kan repræsenterer et eller flere sæt samtidigt. Se eksemplerne:
• Enkelt sæt
Vi kan repræsentere dig ved hjælp af en enkelt lukket linjeLad os for eksempel repræsentere sættet A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Mellem to sæt
Vi skal lave to grafer som den, der repræsenterer det enkelte sæt. Fra operationer med sæt ved vi dog, at: givet to sæt kan de muligvis krydse hinanden. Hvis de to sæt ikke krydser hinanden, navngives de uensartede sæt.
Eksempel 1
Plot, ved hjælp af Venn-diagrammet, sæt A = {a, b, c, d, e, f} og B = {d, e f, g, h, i}.
Bemærk, at krydset er den del af diagrammet, der hører til de to sæt, ligesom i definitionen.
A ∩ B = {d, e, f}
Eksempel 2
Plot sæt C = {a, b, c, d} og D = {e, f, g, h}.
Bemærk, at skæringspunktet mellem disse sæt er tomt, da det ikke har noget element, der tilhører begge dele, det vil sige:
C ∩ D = {}
• Mellem tre sæt
Idéen bag repræsentationen ved hjælp af Venn-diagrammet til tre sæt svarer til repræsentationen mellem to sæt. I denne forstand kan sæt være adskilt en efter en, det vil sige, de har ikke noget skæringspunkt; eller de kan være to-to-to adskilt, det vil sige kun to af dem krydser hinanden; eller alle krydser hinanden.
Eksempel
Repræsentation ved hjælp af Venn-diagrammet af sættene A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} og C = {d, e, c, h}.
Se også: Vigtige sæt notationer
medlemsforhold
Medlemskabsforholdet giver os mulighed for at sige, om et element tilhører et bestemt sæt eller ej. Til dette bruger vi symbolerne:
Overvej sættet A = {a, b, c, d}. Når vi analyserer det, indser vi det gtilhører for eksempel ikke ham, så i Venn-diagrammet har vi:
Inklusionsforhold
Inklusionsforholdet giver os mulighed for at sige om et sæt er indeholdt i et andet sæt eller ej. Når et sæt er indeholdt i et andet, siger vi, at det er et delmængde. Til dette bruger vi symbolerne:
Et eksempel på dette er forholdet mellem sættet af naturlige tal og sæt af hele tal. Vi ved, at sættet med naturlige tal er en delmængde af sættet med heltal, det vil sige sættet af naturlige er indeholdt i sættet af heltal.
Betjening mellem sæt
De grundlæggende operationer mellem to eller flere sæt er: enhed, vejkryds og forskellen mellem to sæt.
• Union
Forbindelsen mellem to sæt dannes ved at forbinde elementerne i hvert sæt, med andre ord: alle elementer i de to sæt betragtes. Se:
Overvej sæt A = {1, 2, 3, 4} og B = {3, 4, 5, 6, 7}. Foreningen mellem dem er givet af:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
I Venn-diagrammet skygger vi foreningsdelen, det vil sige begge sæt, kontroller:
• Kryds
Skæringspunktet er et nyt numerisk sæt dannet af elementer, der samtidig hører til andre sæt. Generelt er skæringspunktet mellem sæt i Venn-diagrammet givet af den del, der er fælles for den involverede grafik. Se:
Idet vi igen sætter sæt A = {1, 2, 3, 4} og B = {3, 4, 5, 6, 7} i betragtning, har vi, at elementerne, der hører til sæt A og til sæt B, samtidigt er :
A ∩ B = {3,4}
• Forskel mellem to sæt
Overvej to sæt C og D, forskellen mellem dem (C - D) vil være et nyt sæt dannet af elementer, der tilhører C og ikke tilhører D. Generelt kan vi repræsentere denne forskel ved hjælp af Venn-diagrammet som følger:
løste øvelser
Spørgsmål 1 - (Ufal) I den følgende figur er ikke-sammenhængende sæt A, B og C blevet repræsenteret. Den farvede region repræsenterer sættet:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Opløsning
Alternativ b.
Når vi husker operationerne med sæt, ved vi, at skæringspunktet mellem to sæt i Venn-diagrammet er givet af den del, der er fælles for dem. I betragtning af sæt A, B og C og farvning af sætkryds A ∩ B har vi:
Titel: Løsningsspørgsmål1 - del 1
Bemærk, at hvis vi fjerner elementerne fra sættet C, får vi den farvede del, der kræves af øvelsen, det vil sige, at vi oprindeligt skal fremhæve krydset og derefter fjerne elementerne fra C.
(A ∩ B) - C
spørgsmål 2 - (Uerj) Børn på en skole deltog i en vaccinationskampagne mod infantil lammelse og mæslinger. Efter kampagnen blev det fundet, at 80% af børnene modtog lammelsesvaccinen, 90% modtog mæslingsvaccinen, og 5% modtog ingen af dem.
Bestem procentdelen af børn på denne skole, der fik begge vacciner.
Opløsning
Da procentdelen af børn, der modtog begge vacciner, er ukendt, lad os først kalde det x. Husk, at vi ikke må arbejde med% -symbolet, men skrive øvelsesprocenterne i deres decimal- eller brøkform.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
For at finde ud af det samlede antal børn, der kun tog lammelsesvaccinen, trak vi den verificerede procentdel (80%) af procentdelen af dem, der tog begge (x), og det samme skulle gøres for børn, der kun tog vaccinen mod mæslinger. Dermed:
Ved at slutte sig til alle børnene er procentdelen 100%, derfor:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Derfor havde 75% af børnene på skolen begge vacciner.
Af L.do Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
