Motivationen for studiet af operationer mellem sæt kommer fra den lethed, de bringer til at løse hverdagens numeriske problemer. Vi bruger nogle grafiske værktøjer, som f.eks venn diagram-Euler, til at definere de vigtigste operationer mellem to eller flere sæt, nemlig: samling af sæt, skæring af sæt, forskel mellem sæt og supplerende sæt.
sammenslutning af sæt
Forbindelsen mellem to eller flere sæt vil være et nyt sæt, der består af elementer, der hører til mindst et af de pågældende sæt. Formelt er unionssættet givet af:
Lad A og B være to sæt, foreningen mellem dem er dannet af elementer, der hører til sæt A eller sæt B.
Med andre ord, bare slutte sig til elementerne af A med de af B.
Eksempel:
a) Overvej sæt A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} og B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x er et naturligt lige tal} og B {y | y er et naturligt ulige tal}
Foreningen af alle naturlige niveauer og alle naturlige odds resulterer i hele sæt af naturlige tal, så vi er nødt til at:
Stop ikke nu... Der er mere efter reklamen;)
Kryds af sæt
Skæringspunktet mellem to eller flere sæt vil også være et nyt sæt dannet af elementer, der på samme tid hører til alle de involverede sæt. Formelt har vi:
Lad A og B være to sæt, krydset mellem dem er dannet af elementer, der hører til sæt A og sæt B. Således skal vi kun overveje de elementer, der er i begge sæt.
Eksempel
a) Overvej sæt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} og C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
B ∩ C = {0}
Sættet, der ikke har nogen elementer, kaldes a tomt sæt og det kan repræsenteres på to måder.
Læs også: Indstil definition
forskel i sæt
Forskellen mellem to sæt, A og B, gives af de elementer, der hører til A og ingen tilhører B.
I Venn-Euler-diagrammet er forskellen mellem sæt A og B:
Eksempel
Overvej sæt A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} og C = {}. Lad os bestemme følgende forskelle.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = {}
Bemærk, at i sæt A - B tager vi oprindeligt sæt A og “tager” elementerne fra sæt B. ud I sæt A - C tager vi A og “tager” tomrummet ud, dvs. ingen elementer. Endelig i C - A tager vi det tomme sæt og "tager" elementerne fra A ud, som igen ikke længere var der.
Læs også: Vigtige notationer om sæt
Supplerende sæt
Overvej sæt A og B, hvor sæt A er indeholdt i sæt B, dvs. hvert element i A er også et element af B. Forskellen mellem sætene, B - A, kaldes komplementet af A med hensyn til B. Med andre ord, det komplementære er dannet af hvert element, der ikke hører til sæt A i forhold til sæt B, hvor det er indeholdt.
Eksempel
Overvej sæt A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} og B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Komplementet af A i forhold til B er:
løste øvelser
Spørgsmål 1 - Overvej sæt A = {a, b, c, d, e, f} og B = {d, e, f, g, h, i}. Bestem (A - B) U (B - A).
Opløsning
Oprindeligt bestemmer vi sæt A - B og B - A, og derefter udfører vi foreningen mellem dem.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Derfor er (A - B) U (B - A):
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
spørgsmål 2 - (Vunesp) Antag at A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} og A - B = {a, b, c}, så:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = {}
d) B = {d, e}
e) B = {a, b, c, d, e}
Opløsning
Alternativ b.
Arrangering af elementerne i Venn-Euler-diagrammet ifølge erklæringen har vi:
Derfor er sættet B = {d, e, f, g, h}.
af Robson Luiz
Matematiklærer
