forståelsen af sæt er det vigtigste grundlag for studiet af algebra og begreber af stor betydning i matematik, såsom funktioner og uligheder. Notationen, vi bruger til sæt, er altid et stort bogstav fra vores alfabet (f.eks. Sæt A eller sæt B).
Med hensyn til repræsentation af sæt, det kan gøres ved venn diagramved blot at beskrive egenskaberne ved dets elementer, ved at tælle elementerne eller ved at beskrive deres egenskaber. Når du arbejder med problemer, der involverer sæt, er der situationer, der kræver udførelse af operationer mellem sætat være unionen, krydset og forskellen. Skal vi studere alt dette detaljeret?
Se også: Numeriske udtryk - lær at løse dem!
Notation og repræsentation af sæt
Til gengivelse af et sæt bruger vi altid en alfabetets store bogstav, og elementerne er altid imellem nøgler og adskilles med komma. For at repræsentere sættet med lige tal større end 1 og mindre end 20 bruger vi f.eks. Følgende notation: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Former for repræsentation af sæt
repræsentation ved optælling: vi kan tælle dets elementer, dvs. lave en liste, altid mellem seler. Se et eksempel:
A = {1,5,9,12,14,20}
beskriver funktionerne: vi kan simpelthen beskrive karakteristikken ved sættet. Lad f.eks. X være et sæt, vi har, at X = {x er et positivt talmultipel på 5}; Y: er sæt af årets måneder.
Venn-diagram: sæt kan også repræsenteres i form af et diagram, kendt som a venn diagram, som er en mere effektiv repræsentation for udførelse af operationer.
Eksempel:
I betragtning af sættet A = {1,2,3,4,5} kan vi repræsentere det i følgende Venn-diagram:
Elementer af et sæt og medlemsforhold
Givet ethvert element, kan vi sige, at elementet hører til til sættet eller ikke hører hjemme til det sæt. For at repræsentere dette medlemsforhold hurtigere bruger vi symbolerne
(læses som tilhørende) og ∉ (læses som ikke tilhører). Lad P for eksempel være sættet med par numre, kan vi sige, at 7 ∉ P og at 12 P.
Ligestilling af sæt
Sammenligning mellem sæt er uundgåelig, så vi kan sige, at to sæt er ens eller ikke, og kontrollerer hvert af dets elementer. Lad A = {0,1,3,4,8} og B = {8,4,3,1,0}, selvom elementerne er i forskellig rækkefølge, kan vi sige, at sæt A og B er ens: A = B.
Inklusionsforhold
Når vi sammenligner to sæt, kan vi komme på tværs af flere forhold, og et af dem er inklusionsforholdet. For dette forhold skal vi kende nogle symboler:
⊃ → indeholder ⊂→ er indeholdt
⊅ → indeholder ikke ⊄→er ikke indeholdt
Tip: Åbningssiden af symbolet vender altid mod det større sæt. |
Når alle elementerne i et sæt A også hører til et sæt B, siger vi, at A ⊂ B eller at A er indeholdt i B. For eksempel A = {1,2,3} og B = {1,2,3,4,5,6}. Det er også muligt at udføre repræsentationen ved venn diagram, det ville se sådan ud:
A er indeholdt i B:
A ⊂ B
Delsæt
Når en inklusionsforhold, det vil sige, at sæt A er indeholdt i sæt B, kan vi sige, at A er en delmængde af B. Delsættet forbliver et sæt, og et sæt kan have flere undersæt, bygget af de elementer, der hører til den.
For eksempel: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} har som undergrupper sæt B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} og endda sæt A {1,2,3,4,5,6,7,8}, det vil sige A er en delmængde af sig selv.
enhedssæt
Som navnet allerede antyder, er det det, der sætter det har kun et element, som det sæt D: {1} der blev vist tidligere. Givet sæt B: {1,2,3} har vi delmængderne {1}, {2} og {3}, som alle er enhedssæt.
OPMÆRKSOMHED: Sættet E: {0} er også et enhedssæt, da det har et enkelt element, "0", og det er ikke et tomt sæt.
Læs også: Sæt med heltal - elementer og egenskaber
tomt sæt
Med et endnu mere suggestivt navn har det tomme sæt ingen elementer og er en delmængde af ethvert sæt. For at repræsentere det tomme sæt er der to mulige repræsentationer, de er V: {} eller symbolet Ø.
Delsæt
Vi kender som sæt af dele alle mulige delmængder af et givet sæt. Lad A: {1,2,3,4}, vi kan liste alle undersæt af dette sæt A begyndende med de sæt, der har ingen elementer (tomme) og derefter dem, der har et, to, tre og fire elementer, henholdsvis.
tomt sæt: { };
Enhedssæt: {1}; {2};{3}; {4}.
Sæt med to elementer: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
sæt med tre elementer: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Sæt med fire elementer: {1,2,3,4}.
Derfor kan vi beskrive sæt af dele af A på denne måde:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
For at finde ud af, hvor mange dele det er muligt at opdele et sæt, bruger vi formlen:
n [P (A)] = 2ingen
Antallet af dele af A beregnes med a styrke base 2 hævet til ingen, på hvilke ingen er antallet af elementer i sættet.
Overvej sæt A: {1,2,3,4}, som har fire elementer. Det samlede antal mulige delmængder af dette sæt er 24 =16.
Læs også: Hvad er sættet med irrationelle tal?
Endeligt og uendeligt sæt
Når vi arbejder med sæt, finder vi sæt, der er begrænset (endelig) og dem der er ubegrænset (uendelig). Sættet af lige eller ulige talfor eksempel er uendelig, og for at repræsentere det beskriver vi nogle af dets elementer i rækkefølge, så det er muligt at forudsige, hvad de næste elementer vil være, og vi sætter ellipser i Endelig.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
I et endeligt sæt sætter vi imidlertid ikke ellipserne i slutningen, da den har en defineret begyndelse og slutning.
A: {1,2,3,4}.
univers sæt
O univers sæt, betegnet med U, defineres som det sæt, der dannes af alle de elementer, der skal betragtes som et problem. Hvert element tilhører universets sæt, og hvert sæt er indeholdt i universets sæt.
Operationer med sæt
Operationer med sæt er: union, kryds og forskel.
Kryds af sæt
Et kryds opstår, når elementer hører samtidig til et eller flere sæt. Når vi skriver A∩B, er vi på udkig efter elementer, der hører til både sæt A og sæt B.
Eksempel:
Overvej A = {1,2,3,4,5,6} og B = {2,4,6,7,8}, de elementer, der hører til både sæt A og sæt B er: A∩B = {2, 4,6}. Repræsentationen af denne operation udføres som følger:
A∩B
Når sæt ikke har nogen fælles elementer, er de kendt som uensartede sæt.
A∩B = Ø
forskel mellem sæt
beregne forskellen mellem to sæt er at lede efter elementer, der kun hører til et af de to sæt. For eksempel har A - B som svar et sæt sammensat af elementer, der hører til sæt A og ikke hører til sæt B.
Eksempel: A: {1,2,3,4,5,6} og B: {2,4,6,7,8}. Bemærk, at A ∩ B = {2,4,6}, så vi har det:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Enhed
Foreningen af to eller flere sæt er tilslutter dig dine vilkår. Hvis der er elementer, der gentages i begge sæt, skrives de kun én gang. For eksempel: A = {1,2,3,4,5} og B = {4,5,6,7,10,14}. For at repræsentere foreningen bruger vi symbolet (læser: En forening med B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
For at lære mere om disse operationer og tjekke flere løste øvelser, læs: Operationer med sæt.
Morgan's Laws
Lad A og B være to sæt, og lad U være universetsæt, der er to egenskaber, der er givet ved Morgans love, nemlig:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Eksempel:
Givet sætene:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Lad os kontrollere det (A U B)ç = Aç ∩Bç. Så vi er nødt til at:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Derfor (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Lad os analysere operation A for at kontrollere rigtigheden af lighedç ∩Bç:
DETç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Derefter, DETç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
løste øvelser
01) Overvej U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} og B: {4,5,6, 7,8,9}. Vis at (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Løsning:
1. trin: find (A ∩ B)ç. Til det har vi, at A ∩ B = {4,5,6}, så (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. trin: Find enç U Bç. DETç: {7,8,9,10} og Bç: {1,2,3,10}, så Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Det er vist, at (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) At vide, at A er sættet med lige tal fra 1 til 20, hvad er det samlede antal delmængder, vi kan bygge ud fra elementerne i det sæt?
Løsning:
Lad P være det beskrevne sæt, vi har det P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Derfor er antallet af elementer i P 10.
Ved sæt af dele teori er antallet af mulige undergrupper af P:
210=1024
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer