Argand-Gauss plan (komplekst plan)

O Argand-Gauss plan den består af to akser: en lodret (kendt som den imaginære akse) og en vandret (kendt som den virkelige akse). Det er muligt repræsenterer geometrisk komplekse talsom er i algebraisk form.

Gennem denne geometriske repræsentation er det muligt udvikle nogle begreber, såsom modulet og argumentet af et komplekst tal. Komplekse tal er repræsenteret algebraisk af z = a + bi, så de er repræsenteret af prikker (a, b), der kaldes en affiks.

Læs også: Geometrisk repræsentation af summen af ​​komplekse tal

Geometrisk repræsentation af komplekse tal

Repræsentation af komplekse tal i Argand-Gauss-planet

Det komplekse plan, også kendt som Argand-Gauss-planet, er intet andet end enCartesian fly for komplekse tal. I Argand-Gauss-planet er det muligt at repræsentere et komplekst tal som en prik, kendt som en affiks. Med udviklingen af ​​den komplekse plan er der udvikling af analytisk geometri for komplekse tal, som gør det muligt at udvikle vigtige begreber som modul og argument.

Et komplekst tal repræsenteret i dets algebraiske form er

z = a + bi, på hvilke Det er den virkelige del og B er den imaginære del. Derfor, komplekse tal er repræsenteret som en prik (a, b). I Argand-Gauss-planet er den vandrette akse aksen for den virkelige del, og den lodrette akse er aksen for den imaginære del.

Anbring

O punkt på planet, der repræsenterer et komplekst tal det kaldes også et anbringelse. Der er tre mulige tilfælde af repræsentation: imaginære anbringelser, reelle anbringelser og rene imaginære anbringelser.

• imaginære anbringelser

Et affiks er kendt som imaginært, når det komplekse tal har begge a reel del og imaginær del ikke-nul. I dette tilfælde er anbringelsen et punkt i en af ​​de fire kvadranter, afhængigt af værdierne for a, b og deres respektive tegn.

Eksempel:

Se repræsentationen af ​​komplekse tal z₁ = 2 + 3i, z₂ = -3 - 4i, z₃ = -2 + 2i og z₄= 1-4i.

Se også: Egenskaber, der involverer komplekse tal

• rene imaginære anbringelser

Et komplekst tal er kendt som et rent imaginært, når din rigtige del er lig med nuldet vil sige z = bi. Bemærk, at i dette tilfælde er den første koordinat altid nul, så lad os arbejde med punkter af typen (0, b). Når der markeres i Argand-Gauss-planet, anbringes der altid en ren imaginær affekt vil være et punkt, der hører til den imaginære akse, det vil sige til den lodrette akse.

Eksempel:

Se repræsentationen af ​​komplekse tal z₁ = 2i og z₂= -3i.

• rigtige anbringelser

Et komplekst tal er klassificeret som en reelt talnår din imaginær del er lig med nuldet vil sige z = a. I dette tilfælde er den anden koordinat altid nul, så vi arbejder med punkter af typen (a, 0), så den imaginære del er nul, og affikserne er indeholdt i den reelle akse af det komplekse plan.

Eksempel:

Se repræsentationen af ​​komplekse tal z₁ = 2 og z₂ = -4.

Kompleks nummermodul

Når P repræsenterer et komplekst tal, skal P (a, b) være anbringelsen på det komplekse tal z = a + bi. Vi kender modulet til det komplekse tal a afstand fra punkt P til oprindelse. Modulet for et komplekst tal z er repræsenteret af | z |. For at finde værdien af ​​| z | bruger vi Pythagoras sætning.

| z | ² = a² + b²

Vi kan også repræsentere ved:

Eksempel:

Beregn modulet for det komplekse tal z = 12 -5i.

| z | ² = 12² + (-5) ²

| z | ² 144 + 25

| z | ² = 169

| z | = √169

| z | = 13

Også adgang: Hvad er rationelle tal?

komplekst talargument

Vi ved hvordan argument af et komplekst tal O vinkel θ dannet af vektor OP og den virkelige akse. Argumentet for et tal er repræsenteret af arg (z) = θ.

For at finde vinklen bruger vi trigonometriske forhold sinus og cosinus.

At finde værdien af ​​argumentet, kun at kende sinus og cosinus se værditabellen for disse trigonometriske forhold. Normalt er argumenterne i college indgangsprøver om dette emne et bemærkelsesværdig vinkel.

Eksempel:

Find argumentet for komplekse tal z = 1 + i.

Lad os først beregne z-modulet.

| z | ² = 1² + 1²

| z | ² = 1 + 1

| z | ² = 2

| z | = √2

Når vi kender | z |, kan vi beregne sinus og cosinus af vinklen.

Den vinkel, der har sinus og cosinus med de fundne værdier, er 45º.

løste øvelser

Spørgsmål 1 - Hvad er argumentet for det komplekse tal z = √3 + i?

A) 30.

B) 45

C) 60

D) 90º

E) 120

Løsning

Alternativ C.

Vi ved, at a = √3 og b = 1, så:

Spørgsmål 2 - I den følgende komplekse plan er nogle tal blevet repræsenteret. Når vi analyserer planen, kan vi sige, at punkterne er repræsentationer af rene imaginære tal:

A) M, N og I.

B) P og I.

C) L og G.

D) O, I, G.

E) K, J og L.

Løsning

Alternativ B.

For at identificere et rent imaginært tal i det komplekse plan er det nødvendigt, at det er oven på den lodrette akse, som i dette tilfælde er punkterne P og I.

Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm