Trigonometriske ligninger er ligestillinger, der involverer trigonometriske funktioner i ukendte buer. Løsning af disse ligninger er en unik proces, der bruger reduktionsteknikker til enklere ligninger. Lad os dække begreberne og definitionerne af ligninger i formen cosx = a.
Trigonometriske ligninger i form cosx = α har løsninger i intervallet –1 ≤ x ≤ 1. Bestemmelse af værdierne på x, der tilfredsstiller denne type ligning, vil overholde følgende egenskab: Hvis to buer har lige cosinus, er de kongruente eller komplementære..
Lad x = α være en opløsning af ligningen cos x = α. De andre mulige løsninger er buerne, der er kongruente til buen α eller til buen - α (eller til buen 2π - α). Så: cos x = cos α. Bemærk repræsentationen i den trigonometriske cyklus:
Vi konkluderede, at:
x = α + 2kπ, med k Є Z eller x = - α + 2kπ, med k Є Z
Eksempel 1
Løs ligningen: cos x = √2 / 2.
Fra tabellen over trigonometriske forhold svarer que2 / 2 til en vinkel på 45º. Derefter:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Således har ligningen cosx = √2 / 2 som en løsning alle buer, der er kongruente med buen π / 4 eller –π / 4 eller endda 2π - π / 4 = 7π / 4. Bemærk illustrationen:
Vi konkluderer, at de mulige løsninger for ligningen cos x = √2 / 2 er:
x = π / 4 + 2kπ, med k Є Z eller x = - π / 4 + 2kπ, med k Є Z
Eksempel 2
Løs ligningen: cos 3x = cos x
Når buerne 3x og x er kongruente:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Når buerne 3x og x er komplementære:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Løsningen af ligningen cos 3x = cos x er {x Є R / x = kπ eller x = kπ / 2, med k Є Z}.
af Mark Noah
Uddannet i matematik
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm