Operationer med vektorer og geometriske repræsentationer

I modsætning til de geometriske figurer, der er dannet af ham, Score har ingen definition. Dette betyder, at et punkt i geometri er et udefineret objekt, der bruges til at definere andre objekter. Linjer er for eksempel sæt af punkter. Selvom de ser veldefinerede ud, har linjerne heller ingen definition, da ethvert sæt, der indeholder to eller flere punkter, betragtes som lige.

På den anden side tages punktet i analytisk geometri som en placering. Enhver placering kan repræsenteres af et punkt, og derudover angives punktets "adresse" ved hjælp af koordinater.

Imidlertid er punkter kun i analytisk geometri i stand til at angive placeringer. Andre objekter er nødvendige for at angive bane, retning, retning og intensitet. I tilfælde af disse sidste tre er det objekt, der er valgt at repræsentere dem i det kartesiske plan, det vektor.

→ Hvad er en vektor?

Vektorerer derfor objekter, der angiver retning, følelse og intensitet. De er normalt repræsenteret af pile, der starter fra oprindelsen, og koordinaterne for deres sidste punkt bruges.

På billedet ovenfor er vektorerne repræsenteret på denne måde, det vil sige pile, hvis koordinater svarer til deres endelige punkt. Vektor u har koordinater (2,2) og vektor v har koordinater (4,2). Pilen bruges også til at angive retning og retning, og dens størrelse angiver intensitet.

→ Vektormultiplikation med et tal

Givet vektoren v = (a, b), er produktet af det reelle tal k ved v givet ved udtrykket:

k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)

Med andre ord, for at multiplicere et reelt tal med en vektor, skal du gange det reelle tal med hvert af dets koordinater.

Geometrisk øger multiplikation af en vektor med et reelt tal vektorens størrelse lineært:

Bemærk, at i eksemplet ovenfor har vektor u koordinater (2.2), og vektor u · k har koordinater (4.4). Ved at løse ligningen (4.4) = k (2.2) kan vi konkludere, at k = 2.

→ Tilføjelse af vektorer

Givet to vektorer u = (a, b) og v = (c, d), vil summen mellem dem blive opnået gennem udtrykket:

u + v = (a + c, b + d)

Med andre ord skal du bare tilføje de tilsvarende koordinater for hver vektor. Denne operation kan udvides til at summe af 3 eller flere vektorer med 3 eller flere dimensioner.

Geometrisk, startende fra slutpunktet for vektor u, tegnes en vektor v 'parallelt med vektor v. Fra vektor v tegnes en vektor u 'parallelt med vektor u. Disse fire vektorer danner et parallelogram. Vektoren u + v er følgende diagonal for dette parallelogram:

For at fratrække vektorer skal du overveje subtraktion som summen af ​​en vektor og den modsatte af en anden. For at trække vektor v fra vektor u skal du skrive: u - v = u + (-v). -V-vektoren er v-vektoren, men med koordinattegnene omvendt.

Når man ser nøje, kan operationerne "multiplicere en vektor med et tal" og "tilføje vektorer" gør brug af multiplikations - og additionsoperationer på reelle tal, men på hver komponent i vektor. Derfor er for vektorer alle egenskaber for tilføjelse og multiplikation af reelle tal gyldige, nemlig:

Givet vektorerne u, v og w og de reelle tal k og l,

i) (u + v) + w = ​​u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) der er en vektor 0 = (0,0) sådan at v + 0 = v

iv) Der er en vektor -v sådan at v + (-v) = 0

v) k (u + v) = ku + kv

vi) (k + l) v = kv + lv

vii) kl (v) = k (lv)

viii) 1v = v

→ Standard for en vektor

Normen for en vektor er ækvivalent med størrelsen af ​​et reelt tal, det vil sige afstanden mellem en vektor og punktet (0,0) eller, afhængigt af referencerammen, vektorens længde.

Normen for vektoren v = (a, b) er angivet med || v || og kan beregnes ved hjælp af udtrykket:

|| v || = √ (a² + b²)

→ Internt produkt

Det indre produkt kan sammenlignes med produktet mellem vektorer. Bemærk, at det ovennævnte produkt er produktet mellem en vektor og et reelt tal. Nu er det pågældende produkt mellem to vektorer. Man skal dog ikke sige "produkt mellem to vektorer", men snarere "internt produkt mellem to vektorer". Det indre produkt mellem vektorerne v = (a, b) og u = (c, d) er betegnet med og kan beregnes som følger:

= a · c + b · d

Det er også almindeligt at bruge følgende notation:

=

Bemærk, at vi ved hjælp af normen for vektoren v = (a, b) kan relatere normen og punktproduktet.

|| v || = √ (a² + b²) = √ (a · a + b · b) = √ ()

Af Luiz Paulo Moreira
Uddannet i matematik

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm