Omvendt funktion: hvad er det, graf, øvelser

DET invers funktion, som navnet antyder, er funktion f (x)^-1, som gør nøjagtigt det inverse af funktionen f (x). For at en funktion skal understøtte en invers, skal den være bijector, det vil sige injektor og surjector på samme tid. Dannelsesloven for en invers funktion gør det modsatte af, hvad funktionen f (x) gør.

For eksempel, hvis funktionen tager en værdi fra domæne og tilføjer 2, den inverse funktion, i stedet for at tilføje, trækker 2. Find omvendt funktionsdannelseslov det er ikke altid en let opgave, da det er nødvendigt at invertere de ukendte x og y samt at isolere y i den nye ligning.

Læs også:Funktion - alt hvad du behøver at vide for at mestre emnet

Hvornår understøtter en funktion invers?

Grafisk gengivelse af en funktion og dens inverse funktion.

En rolle er inverterbar, det vil sige, den har en omvendt funktion, hvis, og kun hvis den er bijector. Det er vigtigt at huske, hvad en bijector-funktion, som er en funktion injektor, det vil sige, at hvert element i billedet har en enkelt domæne-korrespondent. Dette betyder, at forskellige elementer i sæt A skal associeres med forskellige elementer i sæt B, det vil sige, der kan ikke være to eller flere elementer i sæt A, der har det samme svarende til sæt B.

En rolle er overvejelse hvis billedet er lig med kontradomænetder er intet element i sæt B, der ikke har et element i sæt A tilknyttet.

Lad funktionen f: A → B, hvor A er domæne og B er moddomæne, vil den inverse funktion af f være den funktion, der er beskrevet af f^-1 : B → A, det vil sige domænet og moddomænet er inverteret.

Eksempel:

Funktionen f: A → B er bijektiv, da den er injektionsdygtig (når alt kommer til alt er forskellige elementer i A forbundet med forskellige elementer i B) og det er også overvejende, da der ikke er noget element tilbage i sæt B, det vil sige moddomænet er det samme som sæt Billede.

Derfor er denne funktion inverterbar, og dens inverse er:

Hvordan bestemmes den omvendte funktionsdannelseslov?

For at finde den omvendte funktionsdannelseslov har vi brug for vende de ukendte, det vil sige at erstatte x med y og y med x og derefter isolere det ukendte y. Til dette er det vigtigt, at funktionen er inverterbar, dvs. bijector.

→ Eksempel 1

Find loven for dannelse af den inverse funktion af f (x) = x + 5.

Løsning:

Vi ved, at f (x) = y, så y = x + 5. Ved at udføre inversionen af ​​x og y finder vi følgende ligning:

x = y + 5

Lad os nu isolere y:

- 5 + x = y
y = x - 5

Hvis f (x) tilføjer 5 til værdien af ​​x, så er dens inverse f (x) ^{- 1} vil gøre det omvendte, det vil sige x minus 5.

→ Eksempel 2

I betragtning af den funktion, hvis dannelseslov er f (x) = 2x - 3, hvad vil dannelsesloven for dens inverse være?

→ Eksempel 3

Beregn dannelsesloven for det inverse af funktionen y = 2^x.

Løsning:

y = 2^x
Ændring af x for y:
x = 2^y

ansøger logaritme på begge sider:

log₂x = log₂2^y
log₂x = ylog₂2
log₂x = y · 1
log₂x = y
y = log₂x

Læs også: Forskelle mellem funktion og ligning

Omvendt funktionsgraf

Grafen for den inverse funktion f ^-1 det vil altid være symmetrisk med grafen for funktionen f i forhold til linjen y = x, hvilket gør det muligt at analysere disse adfærd funktioner, selvom vi i nogle tilfælde ikke kan beskrive den omvendte funktionsdannelseslov på grund af dens kompleksitet.

Læs også: Hvordan tegner jeg en funktion?

løste øvelser

1) Hvis f^-1 er den omvendte funktion af f, som går fra R til R, hvis dannelseslov f (x) = 2x - 10, den numeriske værdi af f ^-1(2) é:

til 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Løsning:

→ 1. trin: find det omvendte af f.

→ 2. trin: udskift 2 i stedet for x i f ^-1(x).

Alternativ C.

2) Lad f: A → B være en funktion, hvis dannelseslov er f (x) = x² + 1, hvor A {-2, -1, 0, 1, 2} og B = {1,2,5}, det er korrekt at sige, at:

a) funktionen er inverterbar, da den er bijector.

b) funktionen er ikke inverterbar, da den ikke injiceres.

c) funktionen er ikke inverterbar, da den ikke er forventet

d) funktionen er ikke inverterbar, da den hverken er surjektiv eller injicerer.

e) funktionen er ikke inverterbar, da den er bijector.

Løsning:

For at funktionen skal være inverterbar, skal den være bijektiv, det vil sige surjektiv og injicere. Lad os først analysere, om det er overvejende.

For at funktionen skal være overvejende, skal alle elementer i B have en modstykke i A. For at vide dette, lad os beregne hver af dens numeriske værdier.

f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5

f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2

f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1

f (1) = 1 + 1 = 1 + 1 = 2

f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5

Bemærk, at alle elementerne i B {1,2,5} har et tilsvarende i A, hvilket gør funktionen overvejelse.

For at denne funktion skal injiceres, skal elementer, der adskiller sig fra A, have forskellige billeder i B, hvilket ikke sker. Bemærk at f (-2) = f (2) og også at f (-1) = f (1), hvilket gør funktionen ikke injicere. Da det ikke er en injektor, er det heller ikke vendbar; derfor, alternativ b.

Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm