Sættet af Primtal er genstand for undersøgelse i matematik fra det antikke Grækenland. Euclides diskuterede allerede emnet i sit store arbejde "The Elements" og formåede at demonstrere, at dette sæt det er uendeligt. Som vi ved, er primtalene dem, der har tallet 1 som en skiller og sig selv, således at finde meget store primtal er ikke en let opgave, og Eratosthenes sigte gør det let. møde.
Hvordan ved du, hvornår et tal er prim?
Vi ved, at et primtal er etden, der har som skillevæg nummeret 1 og sig selv, så et tal, der i sin liste over delere har andre tal end 1 og i sig selv ikke vil være prime, se:
Ved at liste 11 og 30 skillevægge har vi:
D (11) = {1, 11}
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Bemærk, at tallet 11 kun har tallet 1 og sig selv som delere, så nummer 11 er et primtal. Se nu på delerne af nummeret 30, det har ud over nummeret 1 og i sig selv tallene 2, 3, 5, 6 og 10 med delere. Derfor, tallet 30 er ikke prime.
→ Eksempel: Angiv primtaller under 15.
Til dette vil vi liste opdelere af alle tal mellem 2 og 15.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
Således er primtal mindre end 15:
2, 3, 5, 7, 11 og 13
Lad os indse det, denne opgave ville ikke være særlig behagelig, for eksempel hvis vi skulle nedskrive alle primtalerne mellem 2 og 100. For at undgå det lærer vi at bruge, i det næste emne, Eratosthenes sigte.
Stop ikke nu... Der er mere efter reklamen;)
Sigt efter Eratosthenes
Eratosthenes sigte er en værktøj, der har til formål at lette bestemmelsen af primtal. Sigten består af fire trin, og det er nødvendigt for at forstå dem at huske delbarhedskriterier. Inden vi starter trin for trin, skal vi oprette en tabel fra tallet 2 til det ønskede tal, da tallet 1 ikke er prime. Derefter:
→ Trin 1: Fra delbarhedskriteriet med 2 har vi, at lige tal er alle delelige med det, det vil sige nummer 2 vises på listen over skillevægge, så disse tal vil ikke være primære, og vi skal udelukke dem fra bord. Er de:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Trin 2: Fra kriteriet om delelighed med 3 ved vi, at et tal er deleligt med 3, hvis sum af sine cifre er det også. Derfor skal vi udelukke disse tal fra tabellen, da de ikke er primære, fordi der er et andet tal end 1 og sig selv på listen over skillevægge. Så vi skal udelukke tallene:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Trin 3: Fra kriteriet om delelighed med 5 ved vi, at alle tal, der slutter med 0 eller 5, kan deles med 5, så vi skal udelukke dem fra tabellen.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Trin 4: På samme måde skal vi udelukke tal, der er multipla af 7 fra tabellen.
14, 21, 28, …, 546, …
- Ved at kende sigten til Eratosthenes, lad os bestemme primtalerne mellem 2 og 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ er ikke fætre
→ Primtal
Så primtalene mellem 2 og 100 er:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Læs også: MMC og MDC beregning: hvordan gør man det?
Primær faktor nedbrydning
DET primær faktor nedbrydning er formelt kendt som grundlæggende sætning af aritmetik. Denne sætning siger, at enhver heltal forskellig fra 0 og større end 1 kan repræsenteres af produktet af primtal. For at bestemme den fakturerede form af et heltal skal vi udføre successive opdelinger, indtil vi når resultatet svarende til 1. Se eksemplet:
→ Bestem den fakturerede form for tallene 8, 20 og 350.
For at faktorere tallet 8 skal vi dele det med det første mulige primtal, i dette tilfælde med 2. Derefter udfører vi en anden division også med det primtal, der er mulig, denne proces gentages, indtil vi når tallet 1 som svaret på divisionen. Se:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Derfor er den fakturerede form for tallet 8 2 · 2 · 2 = 23. For at lette denne proces vil vi vedtage følgende metode:
Derfor kan tallet 8 skrives som: 23.
→ For at faktorere tallet 20 bruger vi den samme metode, det vil sige: divider det med primtal.
Så tallet 20 er i sin fakturerede form: 2 · 2 · 5 eller 22 · 5.
→ På samme måde vil vi gøre med tallet 350.
Derfor er tallet 350 i sin fakturerede form: 2 · 5 · 5 · 7 eller 2 · 52 · 7.
Se også: Videnskabelig notation: hvad er det til?
løste øvelser
Spørgsmål 1 - Forenkle udtrykket:
Opløsning
Lad os først faktorere udtrykket for at gøre det lettere.
Således er 1024 = 210, og derfor kan vi erstatte den ene i den anden i træningsudtrykket. Dermed:
af Robson Luiz
Matematiklærer
