Teori for polynomisk nedbrydning

Den grundlæggende sætning af algebra for polynomiske ligninger garanterer det "hver grad polynom n≥ 1 har mindst en kompleks rod ". Beviset for denne sætning blev fremført af matematikeren Friedrich Gauss i 1799. Fra det kan vi demonstrere sætning for polynom nedbrydning, hvilket garanterer, at ethvert polynom kan nedbrydes til første grads faktorer. Tag følgende polynom p (x) af lønklasse n ≥ 1 og_ingen ≠ 0:

p (x) = a_ingen x^ingen + den_n-1 x^n-1 +… + Den₁x¹ + den₀

Gennem algebraens grundlæggende sætning kan vi fastslå, at dette polynom har mindst en kompleks rod. u₁, sådan at p (u₁) = 0. O D'Alemberts sætning til opdeling af polynomer siger, at hvis p (u₁) = 0, derefter p (x) kan deles af (x - u₁), hvilket resulterer i et kvotient hvad₁(x), som er en grad polynom (n - 1), hvilket får os til at sige:

p (x) = (x - u₁). hvad₁(x)

Fra denne ligning er det nødvendigt at fremhæve to muligheder:

Hvis u = 1 og hvad₁(x) er et polynom af grad (n - 1), derefter hvad₁(x) har en grad 0. Som den dominerende koefficient på

p (x) é Det_ingen, hvad₁(x) er et konstant polynom af typen hvad₁(x)=Det_ingen. Så vi har:

p (x) = (x - u₁). hvad₁(x)
(x) = (x - u₁). Det_ingen
p (x) = a_ingen . (x - u₁)

Men hvis u ≥ 2derefter polynomet hvad₁ har en grad n - 1 ≥ 1 og den grundlæggende sætning af algebra holder. Vi kan sige, at polynomet hvad₁ har mindst en rod ingen₂, hvilket får os til at sige det hvad₁ kan skrives som:

hvad₁(x) = (x - u₂). hvad₂(x)

Men hvordan p (x) = (x - u₁). hvad₁(x), vi kan omskrive det som:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). hvad₂(x)

Efterhånden som vi gentager denne proces, har vi:

p (x) = a_ingen. (x - u₁). (x - u₂)... (x - u_ingen)

Således kan vi konkludere, at enhver polynom- eller polynomligning p (x) = 0 af lønklasse n≥ 1 ejer nøjagtigt ingen komplekse rødder.​

Eksempel: Være p (x) et polynom af grad 5, sådan at dens rødder er – 1, 2, 3, – 2 og 4. Skriv dette polynom nedbrudt i 1. grad faktorer, i betragtning af dominerende koefficient svarende til 1. Det skal skrives i udvidet form:

hvis – 1, 2, 3, – 2 og 4 er rødderne til polynomet, så produktet af forskellene i x for hver af disse rødder resulterer i p (x):

p (x) = a_ingen. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Hvis den dominerende koefficient Det_ingen = 1, vi har:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Af Amanda Gonçalves
Uddannet i matematik

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm