Matrixmultiplikation: hvordan man beregner, eksempler

DET mmatrixmultiplikation sker gennem en algoritme, der kræver meget opmærksomhed. For at produktet mellem matrix A og matrix B skal eksistere, det er nødvendigt, at antallet af kolonner giver først hovedkvarter, i tilfælde af A, er lig med antallet af linjer giver Mandag hovedkvarter, i tilfælde B.

Fra multiplikationen mellem matricer er det muligt at forstå, hvad identitetsmatricen er, hvilken er den neutralt element af matrixmultiplikation, og hvad er den inverse matrix af matrix M, som er matrix M^-1 hvis produkt af M af M^-1 er lig identitetsmatrixen. Det er også muligt at multiplicere en matrix med et reelt tal - i dette tilfælde multiplicerer vi hver af udtrykkene for hovedkvarter efter nummer.

Læs også: Hvad er en trekantet matrix?

eksistensbetingelse

Multiplikationen mellem matricer er en proces, der kræver meget opmærksomhed.

For at multiplicere to matricer er det først nødvendigt at kontrollere eksistensbetingelsen. For at produktet skal eksistere, antallet af kolonner i den første matrix skal svare til antallet af rækker i den anden matrix.

Desuden er resultatet af multiplikationen en matrix, der har det samme antal rækker som den første matrix og det samme antal kolonner som den anden matrix.

For eksempel produktet AB mellem matricer A_3x2 og B_2x5 eksisterer, fordi antallet af kolonner i A (2 kolonner) er lig med antallet af rækker i B (2 rækker), og resultatet er matrix AB_3x5. Allerede produkt mellem C-matricer_3x5 og matrix D_2x5 findes ikke, da C har 5 kolonner og D har 3 rækker.

Hvordan beregnes produktet mellem to matricer?

For at udføre matrixmultiplikation, det er nødvendigt at følge nogle trin. Vi laver et eksempel på multiplikationen af ​​en algebraisk matrix A_2x3 ved matrix B_3x2

Vi ved, at produktet eksisterer, fordi matrix A har 3 kolonner, og matrix B, 3 rækker. Vi kalder C resultatet af multiplikationen A · B. Derudover ved vi også, at resultatet er en C-matrix._2x2, fordi matrix A har 2 rækker, og matrix B, 2 kolonner.

At beregne produktet af matrix A_2x3 og matrix B_3x2, lad os følge et par trin.

Først finder vi hver af betingelserne i matrixen C_2x2:

Lad os finde ordene Forhold altid matrix-rækkerne med kolonnerne i matrix B:

ç₁₁ → 1. linje i A. og 1. kolonne i B
ç₁₂ → 1. linje i A. og 2. kolonne i B
ç₂₁ → 2. linje i A. og 1. kolonne i B
ç₂₂ → 2. linje i A. og 2. kolonne i B

Vi beregner hvert af termerne ved at multiplicere termerne i rækken A og vilkårene i kolonnen B. Nu skal vi tilføje disse produkter, begyndende med ç_11:

1. linje i A.
1. kolonne i B

ç₁₁ = Det₁₁· B₁₁ + Det₁₂· B₂₁+ Det₁₃· B₃₁

beregning ç₁₂:

1. linje i A.
2. kolonne i B

ç₁₂ = Det₁₁· B₁₂ + Det₁₂· B₂₂+Det₁₃· B₃₂

beregning ç₂₁:

2. linje i A.
1. kolonne i B

ç₂₁ = Det₂₁· B₁₁ + Det₂₂· B₂₁+Det₂₃· B₃₁

beregning af udtrykket ç₂₂:

2. linje i A.
2. kolonne i B

ç₂₂ = Det₂₁· B₁₂ + Det₂₂· B₂₂+Det₂₃· B₃₂

Matrix C dannes således af udtrykkene:

Eksempel:

Lad os beregne multiplikationen mellem matricer A og B.

Vi ved det i A_2x2 og B_2x3, antallet af kolonner i den første er lig med antallet af rækker i den anden, så produktet eksisterer. Så vi laver C = A · B, og vi ved, at C_2x3.

Ved at multiplicere skal vi:

Se også: Hvad er en transponeret matrix?

identitetsmatrix

I multiplikation mellem matricer er der nogle specielle tilfælde, såsom identitetsmatrixen, som er det neutrale element af multiplikation mellem matricer.. Identitetsmatricen er en firkantet matrix, dvs. antallet af rækker er altid lig med antallet af kolonner. Desuden er kun diagonalens vilkår lig med 1 i den, og de andre udtryk er alle lig med nul. Når vi multiplicerer en matrix M med identitetsmatrixen I_ingen, Vi skal:

M · I_ingen = M

Identitetsmatricer fra ordre 2 til ordre 5

Eksempel:

Hvad er den inverse matrix?

Givet en matrix M, kender vi den som en invers matrix af M. matrixen M^-1hvis produkt M · M^-1 lige med à identitetsmatrix I_ingen. For at en matrix skal have en invers, skal den være firkantet og dens determinant skal være forskellig fra 0. Lad os se på eksempler på matricer, der er inverse:

Beregning af produktet A · B skal vi:

Bemærk, at produkt mellem A og B-genereret matrix I₂. Når dette sker, siger vi, at B er den omvendte matrix af A. For at lære mere om denne type matrix, læs: Omvendt matrix.

Matrixmultiplikation med et reelt tal

I modsætning til multiplikation mellem matricer er der også matrixmultiplikation med en reelt tal, hvilket er en meget enklere operation for at finde løsningen.

Givet en matrix M, multipliceret matrixen med et reelt tal k er lig matrixen kM. For at finde denne matrix kM, nok multiplicer alle termer i matrixen med konstanten k.

Eksempel:

hvis k = 5 og i betragtning af matrix M nedenfor, find matrix 5M.

Multiplikation:

Øvelser løst

Spørgsmål 1 - (Unitau) Givet matricer A og B,

værdien af ​​element c₁₁ af matrix C = AB er:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Løsning

Alternativ A.

Hvordan ønsker vi udtrykket c₁₁, lad os multiplicere termerne i første række og A med vilkårene i første kolonne af B.

beregning c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Spørgsmål 2 - (Enem 2012) En studerende registrerede to-måneders karakterer for nogle af sine fag i en tabel. Han bemærkede, at de numeriske poster i tabellen dannede en matrix på 4 × 4, og at han kunne beregne de årlige gennemsnit for disse discipliner ved hjælp af produktet af matricer. Alle testene havde samme vægt, og tabellen han fik er vist nedenfor.

For at opnå disse gennemsnit multiplicerede han matrixen opnået fra tabellen med matrixen:

Løsning

Alternativ E.

Gennemsnittet er intet mere end summen af ​​elementer divideret med antallet af elementer. Bemærk, at der er 4 toner pr. Linje, så gennemsnittet er summen af ​​disse toner divideret med 4. At dividere med 4 er det samme som at gange med brøkdel ¼. Matricen af ​​karakterer er også en 4x4 matrix, så vi er nødt til at multiplicere med en 4x1 matrix, det vil sige, den har 4 rækker og 1 kolonne for at finde den matrix, der har gennemsnittet af karaktererne.

Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm