Matrix: hvad er det, typer, operationer, eksempler

DET hovedkvarter det bruges ofte til at organisere tabeldata for at lette fejlfinding. Matrixoplysninger, hvad enten de er numeriske eller ikke, er arrangeret pænt i rækker og kolonner.

Sættet af matricer udstyret med funktionerne i tilføjelse, subtraktion og multiplikation og funktioner, som et neutralt og omvendt element, danner en matematisk struktur, der muliggør dets anvendelse på forskellige områder af dette store område af viden.

Se også: Forholdet mellem matrix og lineære systemer

Matrixrepræsentation

Før du starter studierne på matricer, er det nødvendigt at etablere nogle notationer vedrørende deres repræsentationer. På matricer er altid repræsenteret med store bogstaver. (A, B, C ...), som ledsages af indekser, hvori det første tal angiver antallet af rækker, og det andet antallet af kolonner.

DET antal linjer (vandrette rækker) og kolonner (lodrette rækker) i en matrix bestemmer dens bestille. Matrix A har rækkefølge m ved n. Oplysningerne i en matrix kaldes elementer og er organiseret i parentes, firkantede parenteser eller to lodrette bjælker, se eksemplerne:

Matrix A har to rækker og tre kolonner, så dens rækkefølge er to efter tre → A_2x3.

Matrix B har en række og fire kolonner, så dens rækkefølge er en efter fire, så den kaldes linjematrix → B_1x4.

Matrix C har tre rækker og en kolonne, og så kaldes det kolonnematrix og dens rækkefølge er tre efter én → C_3x1.

Vi kan generisk repræsentere elementerne i en matrix, det vil sige, vi kan skrive dette element ved hjælp af en matematisk repræsentation. Ogenerisk element vil blive repræsenteret med små bogstaver (a, b, c ...), og som i repræsentationen af ​​arrays har den også et indeks, der angiver dets placering. Det første tal angiver rækken elementet er i, og det andet tal angiver den kolonne, hvor det er placeret.

Overvej følgende matrix A, vi vil liste dens elementer.

Når vi observerer det første element, der er placeret i første række og første kolonne, det vil sige i række en og kolonne en, har vi tallet 4. For at gøre det lettere at skrive, betegner vi det ved:

Det₁₁ → linje et element, kolonne et

Så vi har følgende elementer i matrix A_2x3:

Det₁₁ = 4

Det₁₂ =16

Det₁₃ = 25

Det₂₁ = 81

Det₂₂ = 100

Det₂₃ = 9

Generelt kan vi skrive en matrix som en funktion af dens generiske elementer, dette er generisk matrix.

En matrix med m rækker og n kolonner er repræsenteret af:

• Eksempel

Bestem matrixen A = [a_ij ]_2x2, som har følgende uddannelseslov til_ij = j² - 2i. Fra dataene i udsagnet har vi, at matrixen A er af orden to og to, det vil sige, den har to linjer og to kolonner, derfor:

Derudover blev matrixdannelsesloven givet, dvs. hvert element er tilfreds med forholdet til_ij = j² - 2i. Ved at erstatte værdierne for i og j i formlen har vi:

Det₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

Det₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

Det₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

Det₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Derfor er matrix A:

Array typer

Nogle matricer fortjener særlig opmærksomhed, se nu disse typer arrays med eksempler.

• firkantet matrix

En matrix er firkantet, når antal rækker er lig med antallet af kolonner. Vi repræsenterer den matrix, der har n rækker og n kolonner med A_ingen (læs: kvadratmatrix af rækkefølge n).

I firkantede matricer har vi to meget vigtige elementer, diagonaler: hoved og sekundær. Hoveddiagonalen er dannet af elementer, der har lige indekser, dvs. det er hvert element a_ij med i = j. Den sekundære diagonal er dannet af elementerne a_ij med i + j = n +1, hvor n er matrixrækkefølge.

• identitetsmatrix

Identitetsmatricen er en firkantet matrix, der har alleduelementer i hoveddiagonalen lig med 1 og andre elementer er lig med 0, dets dannelseslov er:

Vi betegner denne matrix med I, hvor n er rækkefølgen af ​​den firkantede matrix, se nogle eksempler:

• enhedsmatrix

Det er en firkantet matrix af rækkefølge en, det vil sige, den har en række og en søjle, og derfor kun et element.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 og C = || 5 ||_1x1

Dette er eksempler på enhedsmatricer med vægt på matrix B, som er en enhedsidentitetsmatrix.

• null matrix

En matrix siges at være nul, hvis alle dens elementer er lig med nul. Vi repræsenterer en nulmatrix af rækkefølge m ved n ved O_mxn.

Matrixen O er nul i rækkefølge 4.

• modsat matrix

Overvej to matricer med samme rækkefølge: A = [a_ij]_mxn og B = [b_ij]_mxn. Disse matricer kaldes modsat, hvis og kun hvis_ij = -b_ij. Dermed, de tilsvarende elementer skal være modsatte tal.

Vi kan repræsentere matrixen B = -A.

• transponeret matrix

To matricer A = [a_ij]_mxn og B = [b_ij]_nxm de er transponeret hvis og kun hvis_ij = b_ji , det vil sige, givet en matrix A, for at finde dens transponering, skal du bare tage linjerne som kolonner.

Transponeringen af ​​matrix A er betegnet med A^T. Se eksemplet:

Se mere: Invers matrix: hvad er det, og hvordan man verificerer det

Matrixoperationer

Generisk repræsentation af en n x m matrix.

Sættet af matricer har funktionerne ameget veldefineret tilføjelse og multiplikation, det vil sige, når vi betjener to eller flere matricer, hører resultatet af operationen stadig til sæt matricer. Men hvad med subtraktionsoperationen? Vi forstår denne operation som omvendt af addition (modsat matrix), som også er meget veldefineret.

Lad os forstå idéerne til, før vi definerer operationerne tilsvarende element og ligestilling af matricer. Tilsvarende elementer er dem, der indtager den samme position i forskellige matricer, dvs. de er placeret i samme række og kolonne. Det er klart, at arrays skal være af samme rækkefølge, for at matchende elementer kan eksistere. Se:

Elementerne 14 og -14 er tilsvarende elementer i modsatte matricer A og B, da de indtager den samme position (samme række og kolonne).

To matricer siges at være ens, hvis og kun hvis de tilsvarende elementer er ens. Således givet matricerne A = [a_ij]_mxn og B = [b_ij]_mxn, disse vil være de samme, hvis, og kun hvis, den_ij = b_ij for enhver jeg j.

• Eksempel

Ved at vide, at matricerne A og B er ens, skal du bestemme værdierne for x og t.

Da matricer A og B er ens, skal de tilsvarende elementer være ens, derfor:

x = -1 og t = 1

• Addition og subtraktion af matricer

Driften af addition og subtraktion mellem matricer de er ret intuitive, men først skal en betingelse være opfyldt. For at udføre disse operationer er det først nødvendigt at kontrollere, at array ordrer er ens.

Når først denne tilstand er verificeret, finder additionen og subtraktionen af ​​matrixen sted ved at tilføje eller trække de tilsvarende elementer i matricerne. Overvej matricerne A = [a_ij]_mxn og B = [b_ij]_mxn, derefter:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Eksempel

Overvej matricerne A og B nedenfor, bestem A + B og A - B.

Læs også: Hele antal operationer

• Multiplikation af et reelt tal efter matrix

Multiplikationen af ​​et reelt tal i en matrix (også kendt som matrixmultiplikation) med en skalar gives ved at multiplicere hvert element i matrixen med skalæren.

Lad A = [a_ij]_mxn en matrix og t et reelt tal, så:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Se eksemplet:

• Matrixmultiplikation

Matrixmultiplikation er ikke så triviel som matrixaddition og subtraktion. Inden multiplikationen udføres, skal en betingelse også være opfyldt med hensyn til rækkefølgen af ​​matricerne. Overvej matricer A_mxn og B_nxr.

For at udføre multiplikationen er antallet af kolonner i den første matrix skal svare til antallet af rækker i den anden. Produktmatrixen (som kommer fra multiplikation) har en rækkefølge givet af antallet af rækker i den første og antallet af kolonner i den anden.

For at udføre multiplikationen mellem matricerne A og B skal vi gange hver af rækkerne med alle kolonnerne som følger: det første element af A ganges med det første element i B og derefter føjes til det andet element i A og ganges med det andet element i B, og så successivt. Se eksemplet:

Læs også: Laplace's sætning: ved hvordan og hvornår de skal bruges

Øvelser løst

Spørgsmål 1 - (U. OG. Londrina - PR) Lad matricerne A og B være henholdsvis 3 x 4 og p x q, og hvis matricen A · B har rækkefølge 3 x 5, er det rigtigt, at:

a) p = 5 og q = 5

b) p = 4 og q = 5

c) p = 3 og q = 5

d) p = 3 og q = 4

e) p = 3 og q = 3

Opløsning

Vi har erklæringen om, at:

DET_3x4 · B_pxq = C_3x5

Fra betingelsen til at multiplicere to matricer har vi, at produktet kun eksisterer, hvis antallet af kolonner i den første er lig med antallet af rækker i den anden, så p = 4. Og vi ved også, at produktmatricen er angivet med antallet af rækker i den første med antallet af kolonner i den anden, så q = 5.

Derfor er p = 4 og q = 5.

A: Alternativ b

Spørgsmål 2 - (Vunesp) Bestem værdierne for x, y og z på følgende ligestilling, der involverer 2 x 2 reelle matricer.

Opløsning

Lad os udføre operationerne mellem arrays og derefter lighed mellem dem.

For at bestemme værdien af ​​x, y og z løser vi det lineære system. Lad os oprindeligt tilføje ligninger (1) og (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Ved at erstatte værdien af ​​x fundet i ligning (3) har vi:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Og til sidst har vi erstattet værdierne af x og z fundet i ligning (1) eller (2):

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Derfor er løsningen på problemet givet ved S = {(2, 0, 2)}.

af Robson Luiz
Matematiklærer