Summen af ​​vilkårene for en aritmetisk progression

En aritmetisk progression (PA) er en sekvens numerisk, hvor hvert udtryk er summen af ​​det forrige med en konstant, kaldet forholdet. De findes matematiske udtryk at bestemme varigheden af ​​en PA og beregne summen af ​​dens ingen første vilkår.

Formlen, der bruges til at beregne summen af ​​vilkår af en endelig PA eller summen af ingen de første vilkår for en PA er som følger:

s_ingen = på₁ + den_ingen)
2

* n er antallet af BP-termer; Det₁ er den første periode, og_ingen er den sidste.

Oprindelsen af ​​summen af ​​vilkårene for PA

Det siges, at den tyske matematiker Carl Friederich Gauss, omkring 10 år gammel, blev straffet med sin klasse i skolen. Læreren bad eleverne om at tilføje alle de numre, der vises i sekvens fra 1 til 100.

Gauss var ikke kun den første, der kom i mål på meget kort tid, han var også den eneste, der fik resultatet rigtigt (5050). Desuden viste den ingen beregninger. Hvad han gjorde var at reparere følgende ejendom:

Summen af ​​to termer, der er lige langt fra ekstremerne af en endelig PA, er lig med summen af ​​ekstremerne.

Der var ingen viden om PANDE på det tidspunkt, men Gauss så listen over numre og indså, at tilføjelse af den første til den sidste ville resultere i 101; tilføje det andet til næstsidste, ville resultatet også være 101 og så videre. Som summen af ​​alle par af udtryk lige langt fra hinanden af ekstremerne kom til 101, måtte Gauss kun gange dette tal med halvdelen af ​​de tilgængelige vilkår for at finde 5050-resultatet.

Bemærk, at der fra nummer 1 til nummer 100 er nøjagtigt 100 tal. Gauss indså, at hvis han tilføjede dem to og to, ville han få 50 resultater svarende til 101. Derfor blev denne multiplikation udført med halvdelen af ​​de samlede vilkår.

Demonstration af summen af ​​vilkårene for en PA

Denne bedrift gav anledning til det udtryk, der blev brugt til at beregne summen af ingen første vilkår for en PA. Den taktik, der bruges til at nå frem til dette udtryk, er som følger:

givet en PANDE nogen, vi tilføjer de første n termer af det. Matematisk har vi:

s_ingen = den₁ + den₂ + den₃ +… + Den_{n - 2} + den_{n - 1} + den_ingen

Lige under dette summen af ​​vilkår, vi skriver en anden med de samme udtryk som den forrige, men i faldende forstand. Bemærk, at summen af ​​udtryk i det første er lig med summen af ​​udtryk i det andet. Derfor blev begge sidestillet med S_ingen.

s_ingen = den₁ + den₂ + den₃ +… + Den_{n - 2} + den_{n - 1} + den_ingen

s_ingen = den_ingen + den_{n - 1} + den_{n - 2} +… + Den₃ + den₂ + den₁

Bemærk, at disse to udtryk blev opnået fra en enkelt PANDE og at de ækvivalente termer er justeret lodret. Derfor kan vi tilføje udtryk for at opnå:

s_ingen = den₁ + den₂ + den₃ +… + Den_{n - 2} + den_{n - 1} + den_ingen

+ s_ingen = den_ingen + den_{n - 1} + den_{n - 2} +… + Den₃ + den₂ + den₁

2S_ingen = (den₁ + den_ingen) + (a₂ + den_{n - 1}) +… + (A_{n - 1} + den₂) + (a_ingen + den₁)

Husk, at summen af ​​udtryk, der er lige langt fra ekstremerne, er lig med summen af ​​ekstremerne. Derfor kan hver parentes erstattes af summen af ​​ekstremerne, som vi vil gøre næste:

2S_ingen = (den₁ + den_ingen) + (a₁ + den_ingen) +... + (den₁ + den_ingen) + (a₁ + den_ingen)

Gauss idé var at tilføje de lige store afgrænsninger af en sekvens. Så han fik halvdelen af ​​vilkårene fra PANDE i resultater 101. Vi fik det til, at hvert udtryk i det oprindelige BP blev føjet til dets lige store værdi og bevarede dets antal vilkår. Som PA havde n termer, kan vi således ændre summen i ovenstående udtryk ved en multiplikation og løse ligning at finde:

2S_ingen = (den₁ + den_ingen) + (a₁ + den_ingen) +... + (den₁ + den_ingen) + (a₁ + den_ingen)

2S_ingen = n (a₁ + den_ingen)

s_ingen = på₁ + den_ingen)
2

Dette er nøjagtigt den formel, der bruges til at tilføje ingen første vilkår for en PA.

Eksempel

Givet P.A (1, 2, 3, 4), bestem summen af ​​de første 100 vilkår.

Opløsning:

Vi bliver nødt til at finde udtrykket a₁₀₀. Til dette bruger vi generel termformel af en PA:

Det_ingen = den₁ + (n - 1) r

Det₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

Det₁₀₀ = 1 + 99

Det₁₀₀ = 100

Nu er formlen til opsummering af de første n termer:

s_ingen = på₁ + den_ingen)
2

s₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

s₁₀₀ = 100(101)
2

s₁₀₀ = 10100
2

s₁₀₀ = 5050

Af Luiz Paulo Moreira
Uddannet i matematik

Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm