Til operationer med sæt de er forening, skæringspunkt og forskel. Resultatet af hver af disse operationer er et nyt sæt. For at angive foreningen mellem mængder bruger vi symbolet ∪; for skæringspunktet symbolet ∩; og for forskellen, symbolet på subtraktion\(-\). I tilfælde af en forskel er det vigtigt at observere den rækkefølge, hvori operationen vil blive udført. Med andre ord, hvis A og B er mængder, så er forskellen mellem A og B forskellig fra forskellen mellem B og A.
Læs også: Venn-diagram — geometrisk repræsentation af mængder og operationer mellem dem
Oversigt over operationer med sæt
Operationer med sæt er: union, skæring og forskel.
Foreningen (eller mødet) af sæt A og B er mængden A ∪ B, dannet af de elementer, der hører til A eller hører til B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ eller\ x∈B\}\)
Skæringspunktet mellem mængderne A og B er mængden A ∩ B, dannet af de elementer, der hører til A og hører til B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ og\ x∈B\}\)
Forskellen mellem mængderne A og B er mængden A – B, dannet af de elementer, der hører til A og ikke hører til B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Hvis U (kendt som universmængden) er en mængde, der indeholder alle mængder i en given kontekst, så kaldes forskellen U – A, med A ⊂ U, komplementet til A. Komplementet af A er dannet af elementer, der ikke hører til A og er repræsenteret af ENw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Video lektion om operationer med sæt
Hvad er de tre operationer med sæt?
De tre operationer med sæt er: forening, kryds og forskel.
Sammenslutning af sæt
Sammenslutningen (eller mødet) af sæt A og B er mængden A ∪ B (læs "Foreningen B"). Dette sæt består af alle de elementer, der hører til sæt A eller tilhører sæt B, dvs elementer, der hører til mindst ét af sættene.
Ved at repræsentere elementerne i A ∪ B med x, skriver vi
\(A∪B=\{x; x∈A\ eller\ x∈B\}\)
På billedet nedenfor er den orange region sæt EN ∪B.
Det virker svært? Lad os se på to eksempler!
Eksempel 1:
Hvad er mængden A ∪ B, hvis A = {7, 8} og B = {12, 15}?
Mængden A ∪ B er dannet af de elementer, der hører til A eller tilhører B. Da element 7 og 8 hører til mængden A, så skal de begge tilhøre mængden A ∪ B. Ydermere, da elementer 12 og 15 tilhører mængden B, så skal begge tilhøre mængden A ∪ B.
Derfor,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Bemærk, at hvert af elementerne i A∪B tilhører enten sæt A eller sæt B.
Eksempel 2:
Overvej mængderne A = {2, 5, 9} og B = {1, 9}. Hvad er mængden A ∪ B?
Da elementer 2, 5 og 9 hører til mængden A, så skal de alle tilhøre mængden A∪B. Desuden, da elementer 1 og 9 tilhører mængden B, så skal de alle tilhøre mængden A ∪ B.
Bemærk, at vi nævnte 9 to gange, da dette element hører til sæt A og sæt B. At sige, at "mængden A ∪ B er dannet af de elementer, der hører til A eller hører til B" udelukker ikke elementer, der samtidig tilhører sæt A og B.
Så i dette eksempel har vi
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Bemærk, at vi kun skriver element 9 én gang.
Skæring af sæt
Skæringspunktet mellem mængderne A og B er mængden A ∩ B (læs "Skæringspunktet B"). Dette sæt består af alle de elementer, der hører til sæt A det er hører til sæt B. Med andre ord, A ∩ B er sammensat af de fælles elementer i sæt A og B.
Ved at angive elementerne i A ∩ B med x, skriver vi
\(A∩B=\{x; x∈A\ og\ x∈B\}\)
På billedet nedenfor er den orange region sæt EN ∩B.
Lad os løse to eksempler om skæringspunktet mellem mængder!
Eksempel 1:
Overvej A = {-1, 6, 13} og B = {0, 1, 6, 13}. Hvad er mængden A ∩ B?
Mængden A ∩ B er dannet af alle de elementer, der hører til mængden A det er hører til sæt B. Bemærk, at elementer 6 og 13 samtidig hører til sæt A og B.
Sådan her,
A ∩ B={6, 13}
Eksempel 2:
Hvad er skæringspunktet mellem mængderne A = {0,4} og \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Bemærk, at der ikke er noget element til fælles mellem sæt A og B. Således er krydset et sæt uden elementer, det vil sige et tomt sæt.
Derfor,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Forskel mellem sæt
Forskellen mellem sæt A og B er mængden A – B (læs "forskel mellem A og B"). Dette sæt består af alle elementer, der hører til mængde A og ikke hører til mængde B.
Ved at portrættere elementerne i A – B ved x, skriver vi
\(A-B=\{x; x∈A\ og\ x∉B\}\)
På billedet nedenfor er den orange region sæt A – B.
Opmærksomhed: forskellen mellem mængderne A og B er ikke forskellen mellem mængderne B og A, fordi B – A er dannet af alle de elementer, der hører til mængden B og ikke hører til mængden A.
Overvej de to eksempler nedenfor om forskelle mellem sæt.
Eksempel 1:
Hvis A = {-7, 2, 100} og B = {2, 50}, hvad er mængden A – B så? Hvad med sættet B – A?
SættetA-B består af alle de elementer, der hører til mængden A det eringen hører til sæt B. Bemærk, at 2 er det eneste element i sæt A, der også hører til sæt B. 2 hører således ikke til mængden A – B.
Derfor,
A – B = {-7, 100}
Desuden er mængden B – A dannet af alle de elementer, der hører til mængden B det eringen hører til sæt A. Derfor,
B – A = {50}
Eksempel 2:
Hvad er forskellen mellem mængden A = {–4, 0} og mængden B = {–3}?
Bemærk, at ingen af elementerne i A hører til B. Således er forskellen A – B selve mængden A.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Observation: Tænk på, at U (kaldet universmængden) er et sæt, der indeholder alle andre mængder i en given situation. Sådan her, forskellen U-A, med EN⊂U, er et sæt kaldet komplementært til A og portrætteret som \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
På det følgende billede er rektanglet universmængden, og den orange region er universmængden \(B.C\).
Få mere at vide: Trin for trin hvordan man laver en division
Løste øvelser om sætoperationer
Spørgsmål 1
Overvej mængderne A = {–12, –5, 3} og B = {–10, 0, 3, 7} og klassificer hvert udsagn nedenfor som T (sandt) eller F (falsk).
JEG. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Den korrekte rækkefølge, fra top til bund, er
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Løsning
JEG. Falsk.
Grundstof 0 skal tilhøre foreningen af A og B, da 0 ∈ B. Således er A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Rigtigt.
III. Rigtigt.
Alternativ B.
Spørgsmål 2
Overvej A = {4, 5}, B = {6,7} og C = {7,8}. Derefter er mængden A ∪ B ∩ C
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Løsning
Bemærk, at A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Derfor er mængden A ∪ B ∩ C skæringspunktet mellem A ∪ B = {4, 5, 6, 7} og C = {7,8}. Snart,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternativ A.
Kilder
LIMA, Elon L.. Analyse kursus. 7 udg. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Gymnasiets matematik. 11. udg. Matematiklærersamling. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
